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THAFTÉ
l)K
MÉCANIQUE RiTIONNELLE
PARIS. — IMPKIMEKIE G A UTH I EK-Vl LLA H S, 3î7:ii Quai des Grands-.Vuîiuslins, 55.
COURS DE MÉCANIQUE DE LA F\CL'LTÉ DES SCIENCES.
TRAITÉ
MÉCANIQUE RATIONNELLE
Paul APPELL,
DEUXIEME EDITION, ENTIEREMENT REFONDUE.
TO.\IE DEUXIÈME. DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. - MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
PAKIS,
GAUTHIER-VILLARS, IMIMU.MEUII-LIBKAIKE
IfREAL DES I.0.^G1TCI^^:S, llK l.'ÈC.UhE l'Ol.lTKCllMUl-K, Quai dos Grand;- Vugustins, â.'i.
Ur
663374
PRÉFACE DE LA DEUXIÈME ÉDITION.
Voici, aussi brièvement que possible, les changements les plus importants elTectiiés dans ce Volume.
Rappelons tout d'abord que la Dynamique analytique du point, qui figurait en tête du deuxième Volume de la pre- mière édition, a été transportée à la fin du premier Volume de la seconde : le Volume actuel est, de cette façon, entiè- rement consacré aux systèmes.
Dans l'exposé des théorèmes généraux, les applications du théorème des moments des quantités de mouvement ont été modifiées, en vue des particularités présentées par certains systèmes déformables, les êtres vivants par exemple, qui paraissent pouvoir effectuer une révolution complète autour d'un axe, sans l'intervention de forces extérieures.
Dans la théorie du frottement de glissement, nous avons expliqué, sur un exemple simple, les difficultés qui se pré- sentent dans l'application des lois empiriques du frottement ordinairement admises et nous avons exposé les points essen- tiels des recherches de M. Painlevé sur cette question.
Pour le mouvement d'un solide autour d'un point fixe, les préliminaires géométriques ont été complétés par la définition des paramètres d'Olinde Rodrigues, et les équations du mou- vement ont été données d'abord sous la forme classique d'Euler, puis sous une forme tout à fait générale obtenue en employant un trièdre de référence mobile à la fois dans le
M 1» R É F A C E I) I«: I. A D e L' \ I È M K ÉDITION.
corps et dans Tcspace. Comme application de ces dernirres équations, nous avons étudié en détail et présenté, sous une forme (jui nous semble nouvelle, les propriétés paradoxales des solides de révolution suspendus par un point de leur axe et animés d'une rotation rapide.
Nous avons ajouté, aux exemples du mouvement d'un corps solide, une étude détaillée du roulement d'un cerceau sur un plan horizontal fixe.
L'équation générale de la Dynamique déduite du principe de d'Alembert, combiné avec le théorème du travail virtuel, est appliquée successivement aux systèmes holonomes et aux systèmes non holonomes. L'étude des équations générales de la Dynamique se trouve ainsi divisée en deux Parties :
La première Partie se rapporte aux systèmes holonomes; les équations du mouvement d'un de ces systèmes peuvent se mettre sous la forme donnée par Lagrange; le système est caractérisé par l'expression analytique de son énergie ciné- tique ou énergie de vitesses
T=:2
nw
La deuxième Partie se rapporte aux systèmes non holo- nomes; les équations du mouvement d'un de ces systèmes ne peuvent pas être mises sous la forme indiquée par Lagrange; la question de savoir dans quel cas la forme d'équation de Lagrange peut être, exceptionnellement, appliquée à un paramètre déterminé est discutée en détail; un système non holonome est caractérisé par son énergie d'accélérations
dépendant des dérivées secondes; la nécessité d'employer une fonction autre que T, pour caractériser analytiquement le
PREFACE DE LA DEUXIÈME ÉDITION. VII
système, résulte, comme nous Tavons montré dans un article du Tome 122 du Journalde Crclle^ de ce que deux systèmes, ayant des mouvements analytiquement différents, peuvent avoir identiquement la même énergie cinétique et la même fonction de forces. L'emploi de l'énergie d'accélérations S permet d'écrire les équations générales du mouvement sous une forme simple, convenant à la fois aux systèmes holo- nomes et aux systèmes non holonomes : nous donnons diverses applications de cette forme d'équations, entre autres l'établissement des équations du mouvement d'un cerceau sur un plan horizontal fixe.
Après avoir, comme dans la première édition, établi les principes d'Hamilton et de la moindre action, nous exposons le principe de la moindre contrainte de (iauss; en suivant une méthode dont l'idée première a déjà été donnée par Jacobi dans une Leçon encore inédite ('), nous indiquons un énoncé analytique du principe de Gauss qui ramène la recherche des équations du mouvement d'un système quel- conque à la recherche du minimum d'une fonction du second degré. Si l'on adopte ce point de départ, on est conduit, par une deuxième voie, à la forme générale des équations de la Dynamique résultant de l'emploi de l'énergie d'accélé- rations S.
Enfin, nous avons ajouté à l'Ouvrage un paragraphe sur la similitude en Mécanique et la construction des modèles : on sait que cette théorie, dont les principes ont été posés par Newton, a été développée par Joseph Bertrand dans le XXXII* Cahier du Journal dr r École Polytechnique.
J'adresse, en terminant, tous mes remercîments à
(') Nous devons ce renseigncmenl à une cr>mmunicalion de M. le Professeur Mayer, de Leipzi|:.
VIII PRÉFACE DE LA DEUXIÈME ÉDITION.
M. Dautheville, à M. Padé, qui m'ont signalé diverses corrections ou modifications importantes, et à la maison Gauthier-Villars dont la perfection en matière typogra- phique se maintient toujours au premier rang.
La mort de M. Montreuil, le sympathique et dévoué chef des ateliers de l'imprimerie, est venue attrister la fin de l'impression de ce Volume : qu'il me soit permis de donner ici un dernier souvenir à sa mémoire.
Paul Appell.
I*' octobre igoS.
TRAITÉ
DR
MÉCANIQUE RATIONNELLE
DYNAMIQUE DES STSTËMES. - MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
CHAPITRE XVII.
MOMENTS D'INERTIE.
313. Géométrie des masses. — La théorie des moments d'inertie, la théorie du centre de gravité et celle de l'attraction empruntent à la Mécanique la seule notion de masse. Plusieurs auteurs, no- tamment Garnot {Géométrie de position) et Chasles {Aperçu historique, p. 220), ont proposé de rattacher ces théories à la Géométrie. Mais on fait actuellement rentrer ces questions dans un chapitre spécial de la Mécanique, auquel on a donné le nom de Géométrie des masses {voir Haton nE la Goupillière, Jour- nal de V École Polytechnique, XXXVII* cahier, et liei'ue géné- rale des Sciences pures et appliquées, 4" année, p. 387; iSgS).
Les théories qui constituent la Géométrie des masses ont toutes pour objet l'étude de sommes de la forme ^mf{x^y^ 5), étendues à un ensemble de points matériels de masses m et de coordonnées A., II. I
2 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
Xy y^ z. Par exemple, dans la théorie du centre de gravité, figurent les sommes obtenues en prenant pour /(^, y^ z) une fonction linéaire des coordonnées, sommes qui se ramènent à trois TmXj ^my^ Tmz,
La théorie des moments d'inertie, créée par Huygens, se rap- porte aux sommes obtenues en prenant pour /(:r,^, z) une fonc- tion entière du second degré des coordonnées, sommes qui se ramènent à six Imx^, Hmy^^ Sms^, Ymyz, Ymzx^ Ymxy.
I. - DÉFINITIONS ET EXEMPLES.
314. Déânitions des moments d'inertie. — Quoique, dans les applications, on ne rencontre que les moments d'inertie par rap- port à des axes, il est utile d'introduire les définitions suivantes. Étant donné un système de points matériels, on appelle :
1® Moment d^ inertie par rapport à un plan, la somme des produits obtenus en multipliant la masse m de chaque point par le carré de sa distance 8 au plan, Smô^;
2® Moment d'' inertie par rapport à un axe, la somme des produits obtenus en multipliant la masse m de chaque point par le carré de sa distancer à l'axe, Smr^; on désigne ordinairement ce moment par MA*^, où M est la masse totale du système : k est alors appelé le rayon de gy ration du système par rapport à l'axe considéré;
3" Moment dUnertie par rapport à un point ^ la somme des produits obtenus en multipliant la masse de chaque point par le carré de sa distance au point.
Par un point O faisons passer trois axes rectangulaires x, y, z.
Les moments d'inertie par rapport aux trois plans coordonnés
sont
Smar*, Hmy^, Zmz^;
les moments d'inertie par rapport aux axes,
Sm(^«-»-s*), Sm(5«-+-x*), Sm(a"«-+-^*);
^Uj le moment d'inertie par rapport au point O a pour valeur
CHAPITRE XVII. — MOMENTS d'iNERTIE. 3
Des expressions ci-dessus rësullent les théorèmes suivants :
a. Le moment d^ inertie par rapport à un axe est égal à la somme des moments d'inertie par rapport à deux plans rec-- tangulaires passant par cet axe*
b. Le moment d'inertie par rapport à un point est égala la somme des moments d'inertie par rapporta trois plans rec- tangulaires passant par ce point, ou à la somme des moments d'inertie par rapport à un plan et une droite rectangulaires
passant par ce point,
4° Produits d'inertie. — Les géomètres anglais appellent ainsi les sommes Xmyz^ Xmzx, ^mxy^ qui se ramènent immé- diatement aux moments d^inertie. Menons en eflet les plans bis- secteurs P et P des dièdres formés par les plans zOx et zOy^ plans qui ont pour équations x -\-y = o, a: — y = o, puis appe- lons S et S' les distances du point de masse m et de coordonnées x^ y^ z k ces deux plans. Nous avons
relation dans laquelle les deux termes du second membre sont des moments d'inertie.
315. Systèmes continus. — Pour calculer les moments d^nertie J'un corps continu, d'une masse métallique, par exemple, on la suppose décomposée en éléments de volumes infiniment petits di^ dont les coordonnées sont x, y, z et la masse m = pr/r, o dési- gnant la densité du volume élémentaire d^^. Alors, une somme
IcllequeS/nx^ou Smj^-3 devient une intégrale triple / / / QX^dv ou I f I oyzdç étendue au volume considéré.
316. Exemples. — i" Moments d'inertie d'une sphère homogène. — Soit p la densité. Cherchons d'abord le moment d'inertie fjt de la sphère par rapport à son centre; ce moment est une fonction du rayon R; son accroissement ^fx, lorsque R prend un accroissemerit rfR, est le moment
4 DYNAMIQUE DES STSTEMES.
d'inertie d'une couche sphérique de masse /^tzR^ pdR par rapport à un point qui en est à la distance constante R (Jig* >79) • c'est donc
û?jx= 47:R»P^Rx R«, Fig. 179.
d*où, en intégrant entre les limites o et R,
fx = |irpR*. Le moment d'inertie par rapport à un plan diamétral est
puisque le moment d'inertie par rapport à tous les plans diamétraux est le même, et que le moment d'inertie par rapport au centre est égal à la somme des moments d'inertie par rapport à trois plans diamétraux rec- tangulaires. De là résulte que le moment d'inertie par rapport à un dia- mètre, somme des moments d'inertie par rapport à deux, plans diamé- traux rectangulaires, a pour valeur
M désignant la masse totale - irp R' ; le rayon de gyration autour d'un diamètre est donc
•i" Moments d'inertie d'un ellipsoïde homogène. — Soit
a?* v' >3* a* 6* c*
l'équation de l'ellipsoïde. Son moment d'inertie par rapport au plan des xy est, en appelant p la densité,
Sm^^s / / / P^^^-rdy^i, rintégrale triple étant étendue à tout le volume de l'ellipsoïde.
CHAPITRE XVII. — MOMENTS D INERTIE
Si Ton fait le changement de variables
X = ax\ y = hy\ z — cz\ on aura
Y.mz'^z^ahc^ C C fpz'^dx'dydz';
la nouvelle intégrale triple, étant étendue au volume de la sphère
a?'*-+-y*-i-V»— 1 = 0,
représente le moment dlinertie de cette sphère de rayon i par rapport à un plan diamétral, et a pour valeur — Trp; on a donc
4 j5 '
cette quantité peut s^écrire enfin
Sm5*=MÏ,
M étant la masse -izpabc de Tellipsoïde.
On trouvera de même que les moments d'inertie de Tellipsoïde sont : par rapport au plan des xzj
par rapport au plan ôesyZy
5 '
M — >
0
et, par suite :
par rapport aux axes 0^, O^, Oz,
M — y M — - — ♦ M 1
5 5
9
et, par rapport au centre.
M
j
3* Moment d'inertie par rapport à son axe d*un solide homogène
de révolution limité par les plans de deux parallèles, — Prenons
d'abord le cas d*un cylindre de révolution de hauteur h et de rayon R.
Comme dans le cas de la sphère, en donnant un accroissement dK au
rayon, le moment d'inertie du cylindre par rapport à son axe prend un
accroissement
d\L= R«(a7rR/ipûfR),
ft
OYNAMIQUK DES SYSTEMES.
f#«i'fqoe toof les points de la couche cylindrique dont s'accroît le solide «//Ht a la distance R de Taxe et que Taccroissement de masse est 'xizKhp 6fR. Eo intégrant Tégalité ci-dessus, nous aurons
ce qu'on peut écrire
IX = -irR^Ap,
u = 7rR*Ap — = M — :
le rayon de gyration est donc R ^^ — •
Soit, en général (^fig. i8o), z = çp(a?) l'équation de la méridienne de la surface de révolution dont l'axe est 0^. Décomposons le solide en cylindres
Fig. i8o.
élémentaires par des plans perpendiculaires à l'axe; le moment d'inertie d'un de ces cylindres, de rayon r et de hauteur dz^ sera, d'après ce qui précède,
-Tzr^ùdz,
et, si Zo et Z\ sont les hauteurs des parallèles extrêmes, le moment d'inertie du solide aura pour expression
MA:«
r^dz.
r étant lié à z par la relation
^ = ?('^);
on voit que, dans ce cas, le moment d'inertie se calcule par une intégrale simple.
CHAPITRE XVII. — MOMBNTS D'INëRTIE.
n. - THÉORÈMES GÉNÉRAUX.
317. Variation du moment d'inertie d'un système par rapport à un axe se déplaçant parallèlement à lui-même. — Cette varia- lion est donnée par le théorème suivant :
Le moment d'inertie d'un système par rapporta un axe est égal au moment d'inertie par rapport à un axe parallèle pas- sant par le centre de gravité, augmenté du produit de la masse totale par le carré de la distance des deux axes.
Soit A6 un axe quelconque donné; prenons pour axe des z l'axe parallèle Oz passant par le centre de gravité, et soient x = a^ yz=zb les équations de l'axe donné ÂB. Le moment d^inertie par rapport à cet axe est
ce qu'on peut écrire
mais les sommes ^mx^ ^nty sont nulles, puisque le centre de gravité se trouve sur l'axe des z; il reste alors pour expression du moment d'inertie par rapport à AB,
ce qui démontre la proposition; car Im^x^-hy^) est le moment d'inertie par rapport à Gz et (a^-f- b^) le carré de la distance des deux axes.
Soit I le moment d'inertie par rapport à AB, I^ le moment par rapport à Taxe parallèle passant par G, d la distance de ces deux axes; on a I = Ig-H Md^. Soit de même Fie moment d'inertie par rapport à un axe parallèle à la même direction, mais situé à une distance d' du centre de gravité; on a V =lQ-{-Md^^; d'où, en retranchant,
formule qui permet de calculer F, connaissant I et la position du centre de gravité.
8 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
Il résulte du théorème l = lQ-hMcP que, de tous les axes parallèles à une direction donnée, celui pour lequel le moment d'inertie est minimum passe par le centre de gravité. Tous ceux pour lesquels ce moment a la même valeur engendrent un cylindre de révolution dont Taxe passe par le centre de gravité.
On démontre de même que :
Le moment d'inertie d'un système par rapport à un plan est égal au moment d'inertie par rapport à un plan parallèle mené par le centre de gravité, augmenté du produit de la mcLSse totale par le carré de la distance des deux plans;
Le moment d'inertie d^un système par rapport à un point O est égal au moment d'inertie par rapport au centre de gra- vité G, augmenté du produit de la masse totale par le carré
2
de la distance des deux points OG .
3i8. Variation du moment d'inertie par rapport à des axes passant par un même point. Ellipsoïde d'inertie (Poinsot). — Étu- dions maintenant les variations du moment d'inertie pris par rap- port aux diverses droites issues d'un point O (Jig^ i8i). Prenons
ce point pour origine et soient a, ^, y les cosinus directeurs d'une droite Oo. Le carré de la distance mp d'un point x^ y^ zk cette
droite a pour valeur O/n^ — 0/>^, c'est-à-dire ce qui peut s'écrire OU, en développant,
CHAPITRE XVII. — MOMENTS D'INERTIE. 9
d'où résulte pour le moment d'inertie la valeur
H- Y'2/n(x*-4- j'*) — 2^^-'^*^'^ — i^y.Zmzx — 17.^1, mxy.
En désignant par A, B, C, D, E, F les sommes constantes qui entrent dans la formule ci-dessus, nous obtenons
(i) 2mr»= Aa»-h B^^-h Gy*— ^Dp^— îE^a— 2Fa3.
Les constantes A, B, C sont les moments d'inertie par rapport aux axes de coordonnées : D, E, F sont les produits d'inertie.
Pour interpréter géométriquement le résultat auquel nous ve- nons d'arriver, portons de part et d'autre de O, sur chaque droite
08, une longueur OP, telle que ^rp = y/S/wr*, et cherchons le lieu
du point P(X, Y, Z). Nous avons tout d'abord
X û Y Z I ^ •
*=ÔP' P^ÔF' ^=ÔP '^'' ÔF«=^'^'**î
en portant ces valeurs dans l'équation (i), il nous vient
(2) I = AX«H- BY«-h CZ»— 2DYZ — aEZX - 2FXY,
équation d'une surface du second ordre. Cette surface, quia l'ori- gine pour centre, est nécessairement un ellipsoïde; le rayon vec- teur OP est, en effet, toujours réel et fini, puisqu'il a pour valeur
et que le moment d'inertie est toujours positif. Il n'j aurait
exception que pour le cas où tous les points matériels du système seraient en ligne droite avec le point O : dans ce cas, le moment d'inertie par rapport à celte droite serait nul, et l'ellipsoïde se réduirait à un cylindre de révolution autour de cette droite.
L'ellipsoïde dont l'équation vient d'être établie a reçu le nom A'^ ellipsoïde d'inertie; ses plans et ses axes de symétrie se nomment plans principaux et axes principaux d'inertie relatifs au point considéré. L'ellipsoïde d'inertie relatif au centre de gravité est V ellipsoïde central d^ inertie. En général, il n'y a donc que trois axes principaux d'inertie relatifs à un point ; si Tellipsoïde d'inertie est de révolution, il y en a une infinité dans le plan de l'équateur; s'il est une sphère, tout axe passant par le point est principal pour ce point.
10 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES .
Une fois l'ellipsoïde d'inerlie relatif au point O tracé, le mo- ment d'inertie par rapport à un axe 08 est^rp^* P désignant le
point où OS perce Tellipsoïde. De tous les axes menés par O, celui qui donne le plus petit moment d'inertie est donc le grand axe de l'ellipsoïde.
319. Conditions pour que l'axe Oz soit principal pour le point O* — Cherchons la condition pour que l'un des axes de coordonnées Oz soit axe principal d'inertie par rapport au point O. Il faut pour cela que l'équation de l'ellipsoïde d'inertie ne contienne pas de terme du premier degré en -2, c'est-à-dire que l'on ait
D = o, E = o, ou bien
(3) 2m^'5 = o, I.ma;z = o.
L'axe des z étant axe principal d'inertie pour le point O ne le sera pas, en général, pour un autre point O' de sa direction, situé
Fig. i83.
o*
A/
-JOf
à une cote 00'= h. Pour exprimer que Oz est aussi un axe prin- cipal en O', on devrait, d'après ce qui précède, joindre aux équa- tions (3) les conditions nouvelles
(4) I.my{z — /t) = o, ^nix(z — A)=o,
obtenues en portant l'origine en O'. En les combinant avec les premières, ces équations se réduisent à
équations qui expriment que Oz passe par le centre de gravité. Si celle condition géométrique est vérifiée, Taxe des z sera axe principal d'inertie pour un point quelconque de sa direction et en
CHAPITRE XVII. — MOMENTS D INERTIE. II
particulier pour le centre de gravité, car les conditions que nous venons de trouver sont alors vérifiées, quel que soit A; d'où ce théorème :
Théorème. — Un axe principal d^ inertie relatif au centre de gravité est axe principal d'inertie pour Vun quelconque de ses points. Inversement, si un axe est principal pour deux de ses points, il Vest pour tous et passe par le centre de gravité.
Il est évident que, si un solide homogène admet un plan de symétrie, ce plan est principal pour chacun de ses points, car, en prenant ce plan pour plan des xy^ on a, quelle que soit Torigine,
z prenant des valeurs deux à deux égales et de signes contraires.
320. Remarque. — Un ellipsoïde quelconque ne peut pas tou- jours être considéré comme un ellipsoïde d'inertie. Si l'on rap- porte, en efiet, à ses axes un ellipsoïde d'inertie, son équation
devient
AX«-hBY«-+-CZ*=i,
où A, B, C sont les moments d'inertie
par rapport aux trois axes; et l'on voit immédiatement que l'un quelconque d'entre eux est au plus égal à la somme des deux autres. Par exemple, lorsque l'ellipsoïde d'inertie est de révolu- tion, il peut être aussi allongé qu'on le veut; mais s'il est aplati,
son aplatissement est au plus égal à 5—— — .
v/'2
Si le solide est une plaque d'épaisseur infiniment petite, située dans le plan des xy^ l'un des axes principaux est Oz par raison de symétrie : soient Oo? et Oy les deux autres. Alors, z étant nul, on a C = A-f- B.
On verra, à titre d'exercice, que, pour que l'ellipsoïde d'inertie puisse en quelque point de l'espace se réduire à une sphère, il faut que l'ellip- soïde d'inertie relatif au centre de gravité soit un ellipsoïde de révolution aplati; il existe alors sur son axe de révolution deux points symétriques par rapport au centre de gravité, pour lesquels la condition est satisfaite.
I SrSTEHËS.
331. Problème de Binet. - port auŒ-quels le moment d'in
weloppe dei plans par rap-
1 System
RapportoDs le système aux axes principaux d'i l'ellipsoïde central, c'est-à-dire de l'ellipsoïde d'il de gravité, et .•oient Md', M6*, Me* les moments aux trois plans coordonnés.
Le moment d'inertie par rapport au plan
E Qx, Gy, G* de relatif au centre ;rtie par rapport
En développant cette cxprc! des a\cs coordonnés, les six s Zmxy sont nulles, oQ devra a
ion et remarquant qi nmcs Zmx, ^my. In )ir la relation
e, d'après le chois 3, l-myx, Zmtx,
HU'
«'. MAi-M-'-Mé» -(-«■'. Mc»-+-
qui devient sous forme entière
u«(a» - k*) -H (•'{**— *')-*- if'(c»— *') -1- I = o. C'est l'équation tangentielle de la surface du second ordre
<0 «1 - *i "^ 6»- Ai "•■ C- — X' +»=•>■
Lorsqu'on fait varier le paramètre k, les surfaces représentées par cetU équation restent homofocales. Comme elles doivent être réelles, il £■«! que A' soit supérieur â la plus petite des quantités a*, b*, e* : c* pw exemple; il en résulte que le plan pour lequel le moment d'inertie ett minimum est le plan des ry.
Par un point 0'(3'',y', s') de l'espace, il passe trois de ces si les valeurs du paramétre k^, relatives à ces trois surface», sont li^s a*, p*, Y* de l'équation du troisième degré
'** a'—k' '*' b*—k' "^ c»— *« * • = "•
Les trois surfaces homofocales qui passent par O' se coupent droit; on a alors le théorème suivant :
Les plans principaux d'inertie relatifs au point 0' sont let pltU tangents aux trois surfaces homofocales (i) gaipas$ent par ce poilU et les moments d'inertie par rapport à ces trois plant principaux $< Mï', M^i, iM-f' a', p>,f* désignant les racines de l'équation (a).
ipprochemer t° L'enveloppe des plans passant par O' par d'ineriie du syiléme a une vuleur donnt^e Mi ctrconscril à la surface (i). Celle enveloppe e; la surface (i) ne passe pas par 0', c'est-à-diri valeurs a'. ^', f'. Mais, si A' a Tune de ces passe par O' ei le cône circonarril de somme
e moment
. dei; deux faits su rapport auxquels I
l un véi'ilablc L-Cne tant que tant que A' n'a pas une des ti'ois valeurs, la surface (ij O' devient un plan double
confondu avec le plan tan^-ent à cette surface en O*.
a* Cherchons direcietuent l'eavetoppe de ces raéraes plans en prenant 0' pour origine, et pour axes, O'xi/i*,, les trois aies principaux d'înerlie
relatifs à O'. Soient X], yi, z, les coordonnées d'un point du système.
MȔ = Sni
M3î.
-"'7Î.
Mfî =ShiîÎ
les luotnenls d'inertie par rapport aux trois plans principaux relatifs à O', 1^ moment d'inertie du sjrstème par rapport au plan ii^t ■+■ c^i -i- ti'^i = o passant par 0' est
le plan e
eloppc alors un cOne dont l'équatlun est
C'esl le un véritable cûne tant que A' n'a pas une des valeur* aj, ?*, f'; pour A* — >J par exemple, le rûnc se réduit au plan double t^ = o, c'est- à-dire à l'un des plane principaux relatifs au point 0'; de même pour X>^PI, A' = YÎ, on a les deux autre» plans principaux relatifs à O'.
Comme, dans la première façon de raisonner, nous avons trouvé que le même cûne se réduit à des plans doubles seulement quand X* est égal A a', p' ou Y*, il faut que aj, pj, ^î soient égaux à i', g», y': comme nous avons trouvé, de même, que ces plans doubles rriliicidenl avec les plans tangenis aux trois surfaces homofocales passant par O'. il faut que ces plans tangents roïucideDI avec les plans priucipauv d'inertie relatifs au point O', X, — o, j*, = o. a, = o.
Le tfaëorime est duni; démontri^.
'sa. — Ueu des points U' teU qua 1< 'un des axet principaux reladfa 1 luppu^ons ijuf lo muuieut d iiierl
M'
•>nt<rinerUe par rapport A
'ir donnée M /)'. —
principal O';, ait
r4 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
Or ût*, p*, y' sont les racines de Téquation (2); écrivant cette équation sous forme entière, on a pour la somme des racines
a«-+- 3> -f- Y* = :r'» -f-/* -4- 5'» -h a« -^ 6* -h c*, d'où, en faisant
yi = r'* -h a' -+- 6' -f- c* — />*.
En exprimant que y* est racine de l'équation (2), on a l'équation du lieu
^'t yt ^'1
6*-+- c* — /?«-hr'* c*-f-rt2 — /?*-!- r'* a»-+- 6*— /?«-^ r'
c'est une surface du quatrième degré coupée, suivant des coniques, par les plans coordonnés, identique à la surface des ondes de Fresnel.
(Voyez Clebsch, Journal de Crelle, t. 57; O. Hesse, Vorlesungen iiber analytische Géométrie des Baumes; Darboux, Note à la Méca- nique de Despeyrous),
323. Détermination expérimentale des moments d'inertie. — Nous verrons plus loin comment la théorie du pendule composé permet de déter- miner expérimentalement un moment d'inertie. Bornons-nous à indiquer que MM. Brassine (Comptes rendus, t. XCV, p. 44^), Marcel Deprez (ibid. t. LXXllI, p. 785), Joukowski (Bulletin de VAssociation fran- çaise pour l'avancement des Sciences, 1889, p. 23) ont indiqué divers appareils pour cette détermination.
Les intégrateurs mécaniques permettent également d'évaluer les mo- ments d'inertie, comme on le verra dans le Traité de Statique graphique de M. Maurice Lévy.
EXERCICES.
1. Calculer les moments d'inertie d'un parallélépipède rectangle homogène, de dimensions a, ô, c, par rapport aux parallèles aux arêtes menées par le centre.
Béponse, — On trouve
!\I » M » M .
Ï.I 12 12
2. On considère le volume compris entre deux cylindres de révolution de même axe de rayons H cl H' et de hauteur commune h. Calculer les moments d'inertie de ce volume supposé homogène par rapport à l'axe de révolution et par rapport à une droite perpendiculaire à l'axe et équidistante des bases.
Béponse. — M désignant la masse du solide, on trouve
iM , M , \ ).
CHAPITRE XVII. — MOMENTS D*1NERTIE. l5
3. Pour représenter la variation du moment d*inertie par rapport à des axes parallèles AB, on peut porter, sur chaque axe, à partir du point A où il rencontre un plan fixe perpendiculaire à la direction des axes, une longueur AI égale au moment d'inertie correspondant. Lieu du point 1. ( ParaboIoTde de révolution.)
4. Si un solide admet un plan de symétrie matérielle, ce plan est principal pour chacun de ses points.
Si un solide admet un axe de symétrie matérielle, cet axe est principal pour chacun de ses points.
(La symétrie est matérielle quand chaque élément a même masse que son symétrique.)
5. Dans un tétraèdre régulier homogène, Tellipsoïde central d'inertie est une sphère. (Cela résulte de la disposition des plans de symétrie.)
6. Conditions pour que Taxe Oz soit principal pour l'un de ses points.
^ , Zmxz ^mvz
Réponse. -= = -r; — - —
'^ £ma; ^niy
( La valeur commune de ces rapports donne l'ordonnée z du point.)
7. Les axes principaux d'inertie en un point d'un axe principal relatif au centre de gravité sont parallèles aux axes principaux relatifs au centre de gra- vité. ( Réciproque.)
8. Étant donné un cylindre droit homogène, dont la hauteur est /i, dont la base Û est située dans le plan yOz, et dont les génératrices sont parallèles à l'axe Oz\ soient I,, I , I, les moments d'inertie par rapport aux axes Oj:, O y, Oz, dé- montrer les formules
I. = A f f{ X'-\-y^) dxdy, ,= A i ( y'^dxdy -\- y Û, \y=h l i x'^dxdy -\- -rr Û,
"^ J • J
Les intégrations sont étendues à une section droite. (Resal, Cours de l'École Polytechnique. )
9. Étant donnée une aire plane, qui est située dans le plan des xy et que l'on regarde comme un ensemble d'éléments matériels dont le z est nul, démontrer :
i** Que tout axe situé dans le plan de l'aire est principal pour un de ses points et calculer les coordonnées de ce point;
3* Que le moment d'inertie par rapport à O^ est égal à la somme des moments d'inertie par rapport à Oa; et O^.
10. Afoments d'inertie des surfaces de révolution par rapport à l'axe. — Si l'équation y =/{x) représente la courbe méridienne, tracée dans le plan des xy et rapportée à l'axe de révolution comme axe des x^ le moment d'inertie de la surface engendrée, par rapport à cet axe, sera donné par la formule
I =
I = iTzoî I y^dSf
j6 dynamique des systèmes.
où e représente répaisscur constante de la surface matérielle supposée infiniment
mince et où p est la densité constante de la couche.
Surface latérale du tronc de cône, — Si r et r' sont les rayons des deux
bases du tronc, on a
r' -+- r"^
2
Calotte sphérique de rayon U et de hauteur H
I = MH(R-f).
11. Moments d'inertie des solides de révolution par rapport à l'axe, — Tronc de cône, — Soient r et r' les rayons des deux bases du tronc, on a
Segment sphérique à deux bases, — Soient r et /*' les rayons des deux bases du segment, H sa hauteur et R le rayon de la sphère, à laquelle il appartient, on trouve
( DosTon, Archiv, de Grùnert.)
12. On considère un point fixe O et un axe variable 06 passant par ce point. On mène un plan P perpendiculaire à 05, à une distance de O égale au rayon de gyration d'un système matériel autour de 05. Enveloppe du plan P?
(Cette enveloppe est un ellipsoïde, Clebscu, C relie, t. 57.)
13. Soient
une équation de degré /^ par rapport à une variable imaginaire z\ -z,, z^j ..., 2 , ses racines. Représentons ces racines, suivant la méthode de Caucby, par des points sur un plan; regardons ensuite ces points comme des points matériels ayant l'unité de masse; enfin convenons d'appeler points centraux d'ordres successifs i, 2, 3, ... les racines des dérivées successives/' (2),/' (5), /"(-s), .... On a alors les théorèmes suivants :
Le point central d'ordre (/? — i) est le centre de gravité du système donné;
La droite qui joint les deux points centraux d'ordre {p — i) est dirigée sui- vant le grand axe de l'ellipsoïde central d'inertie du système.
Si l'on appelle A et B les rayons de gyration autour des deux axes principaux d'inertie relatifs au centre de gravité et situés dans le plan du système, la difl'é- rence A^ — B' est égale à (/' — 1) fois le carré de la demi-distance des points centraux d'ordre (/? — 2 ).
Pour que A = B, il faut et il suffit que ces deux derniers points coïncident. (Lucas, Bulletin de la Société mathématique, t. X\, p. 10 et 17.)
14. Quelle forme faut-il donner à une masse homogène donnée M pour que son moment d'inertie par rapport à un point donné O soit minimum?
Réponse, — La forme d'une sphère de centre O.
CHAPITRE XVII. — MOMENTS D*INERTIE. I7
15. Étant donné un système de points, étudier le complexe formé par les axes par rapport auxquels le moment d'inertie a une valeur donnée M 9'.
Réponse. — En prenant les notations du n*> 321, on trouve un complexe du second ordre formé par les droites par lesquelles on peut mener à la surface
x^ y^ z^
3 3 2
-M = 0
des plans tangents rectangulaires.
16. Étudier de même le complexe formé par l'ensemble des axes principaux relatifs aux différents points de l'espace.
(Complexe formé par les normales à une famille de surfaces du second degré homofocales.)
17. Les droites du complexe précédent, qui passent par un point O', forment un c6ne ; trouver le lieu des points pour lesquels les génératrices de ce c6ne sont des axes principaux.
( Lieu des pieds des normales menées de O' aux surfaces homofocales.)
18. Trouver le lieu des points pour lesquels les ellipsoïdes d'inertie sont de révolution.
(Il faut que Téquation (3) de la page is ait deux racines égales; on trouve une ellipse et une hyperbole situées dans deux des plans principaux relatifs au centre de gravité.)
19. Dans un ellipsoTde d'inertie, le plus petit des demi-axes est supérieur ou égal à la distance du centre à la droite qui joint les extrémités des deux autres.
A., II.
iH DYNAMIQl'E DES STSTÊMES
CHAPITRE XVlll.
THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LE MOUVEMENT
DES SYSTÈMES.
32i. Indication de la méthode. — Comme nous Pavons déjà fail en statique, nous regarderons un système matériel quelconque, formé de corps solides, liquides, gazeux, comme composé d'un très grand nombre de points matériels assujettis à certaines liai- sons. Un corps solide, par exemple, est un ensemble de points assujettis à rester à des distances invariables les uns des autres.
Les théorèmes généraux s'obtiennent en supposant qu'on ait écrit les équations du mouvement de ces diflférents points maté- riels et qu'on en fasse des combinaisons.
I. -. THÉORÈME DE LA PROJECTION DES QUANTITÉS DE MOUVEMENT OU DU MOUVEBfENT
DU CENTRE DE GRAVITÉ.
325. Forces intérieures et extérieures. — On appelle forces intérieures à un système les actions mutuelles des différents points du système; ces actions sont deux à deux égales et direc- tement opposées, d'après le principe de l'égalité de l'action et de la réaction. Par exemple, si un point m du système en attire un autre m' avec une certaine force, inversement m! attire m avec une force égale et opposée.
Les forces autres que les forces intérieures que nous venons de définir s*appellent /orce^ extérieures.
Soient â7|, ^4, ^1, x%^ y^^ z^y ...» Xn^yn^ ^n les coordonnées des divers points du système dont les masses sont m 1 , ma, .... m^,. Si nous considérons Tun quelconque de ces points de masse m et de coordonnées or, y^ 5, nous pouvons partager les forces appli- quées à ce point en deux catégories r '^ celle qui comprend les forces intérieures agissant sur m; ^sX|*, Y|, Z|les
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 19
projections d'une de ces forces; 2'* celle qui comprend les forces exlérieures agissant sur ce même point; nous appellerons X^., Y^., T^c les projections d'une de ces forces. Les équations du mouve- ment du point m sont alors
m -^ = SX/ -h 2X^,
où les signes S signifient qu'il faut faire la somme des projections de toutes les forces intérieures ou extérieures appliquées à m,
326. Démonstration du théorème. — Supposons écrites ces équations pour tous les points du système, et ajoutons membre à membre les équations relatives à l'axe des x^ il viendra
le signe SS indiquant que la somme est étendue à toutesXes forces agissant sur les divers points du système. Or, en vertu du prin- cipe de l'égalité de Faction et de la réaction, les forces intérieures sont deux à deux égales et opposées; la somme SSX| de leurs projections sur l'axe des x est donc nulle, el l'équation précé- dente se réduit à
i/n
dt
on aurait de même
d^z
Ces équations peuvent s'écrire
s K" ^0 ="''••
ao DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
elles donnenl Texpression analytique du théorème des quantités de mouvement projetées.
Théorème. — La dérivée y par rapport au temps, de la somme des projections des quantités de mouvement des points du sys- tème sur un axe fixe quelconque est égale à la somme des pro- jections des forces extérieures sur cet axe.
Par exemple, si SSXe= o, on a
^m -r: = consl. dt
Ces mêmes équations (2) sont susceptibles d'une autre inter- prétation : en désignant par M la masse totale Sm et par Ç, tj, ^ les coordonnées du centre de gravité du système, on a
M { = 2 m a:, M r, = 2 m j^, M Ç = S m 5,
^d^\ d^x ..d^Ti ^ d^y ^dtl^ d>z
dt* dt^ dt^ dt^ dt^ dt^ '
les équations (2) peuvent donc s'écrire
(3) Mg=^^X'- M^=S2V„ M^^ = i:iZ,;
SOUS cette forme elles expriment la propriété suivante :
Théorème. — Le centre de gravité du système se meut comme un point matériel qui aurait pour masse la masse totale du système, et auquel seraient appliquées des forces égales et parallèles aux forces extérieures.
Ce théorème, dont nous avons déjà fait usage, a, entre autres, cet intérêt qu'il donne une réalité à la théorie du mouvement d'un point matériel. Il a reçu le nom de théorème du mouvement du centre de gravité. Ce théorème a été indiqué par Newton dans des cas particuliers.
327. Exemples. — 1° Pas de forces extérieures, — L'hypothèse la plus simple qu'on puisse faire est que le système n'est soumis à aucune force extérieure; le centre de gravité est alors animé d'un mouvement rectiligne et uniforme. Si l'on admet, par
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTEMES. 21
exemple, que les actions des étoiles sur le système solaire sont nulles, le centre de gravité de ce système, qui est placé très près du Soleil, est animé d^un mouvement rectiligne uniforme.
2** Système pesant dans le vide. — Prenons maintenant un système de points pesants lancés dans le vide; quelles que soient les déformations et les liaisons intérieures du système, le centre de gravité décrit une parabole d'axe vertical ; en effet, les diverses forces extérieures sont verticales; transportées au centre de gra- vité, elles ont pour résultante 'Lmg =iMg] le centre de gravité se déplace donc comme un point pesant de masse M. Par exemple, si une bombe est lancée dans le vide et éclate à un certain instant, le centre de gravité des fragments continue à décrire la même parabole, car les forces développées par l'explosion sont intérieures. De même, si un être vivant est lancé dans le vide sous l'action de la pesanteur, son centre de gravité décrit une parabole et les efforts musculaires qu'il peut faire ne modifient pas la trajectoire du centre de gravité, car ces efforts sont des forces intérieures.
3** Attraction proportionnelle à la distance. — Soit encore un système de points matériels attirés par un centre fixe O pro- portionnellement aux masses et aux distances r. Les forces exté- rieures sont les attractions centrales y"mr; transportons ces forces au centre de gravité G : nous avons vu en Statique que la résul- tante de ces forces est dirigée suivant GO et a pour valeur y*. M. GO; le centre de gravité se déplace donc comme un point matériel attiré par O proportionnellement à la distance; il décrit une ellipse ayant O pour centre.
Remarque, — Dans les deux derniers exemples, nous avons pu trouver le mouvement du centre de gravité, sans rien connaître des liaisons et des forces intérieures : cela tient à ce que, dans ces cas, les seconds membres des équations (3) ne dépendent que de \i 'hi ^* ^^ P^"t alors effectuer l'intégration de ces équations sans connaître les autres équations du mouvement. En général, il n'en sera pas ainsi ; les seconds membres des équations (3) dépen- dront des coordonnées de tous les points du système et ces équa- tions ne donneront qu'un renseignement sur le mouvement. Ce cas se présente, par exemple, dans le problème du mouvement de deux points s'attirant l'un l'autre, et attirés par un centre fixe
12 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
suivant la loi de Newlon ; la résuUanle des forces exlërieures au système des deux points transportées au centre de gravité dépend des coordonnées des points et ne dépend pas seulement des coor- données du centre de gravité.
4° Marche (Delaunay, Mécanique). — Comme nous venons déjà d*cn donner un exemple, le théorème du mouvement du centre de gravité s*étend aux êtres vivants. La volonté met en jeu des actions musculaires qui sont des forces intérieures, deux à deux égales et opposées, et qui n'ont aucune influence sur le mouvement du centre de gravité. Aussi n'est-ce qu'en réagissant sur des corps extérieurs qu'un être vivant peut modifier le mouvement de son centre de gravité. Imaginons, par exemple, un observateur debout sur un plan de glace horizontal parfaitement poli : les forces extérieures agissant sur le corps de l'observateur sont des forces toutes verticales, le poids et les réactions normales de la glace. Si l'observateur est d'abord immobile et veut ensnite se mouvoir, son centre de gravité se meut comme un point matériel d'abord immobile, sur lequel agit une force verticale : il décrit une verticale fixe; les efforts musculaires ne modifient donc pas la position de la projection horizontale du centre de gravité, qui ne fait que s'élever ou s'abaisser. La marche serait alors impossible; elle ne devient possible qu'à cause du frottement. Lorsque, sur un sol non poli, un homme, d'abord immobile, avance une jambe, l'autre tend à reculer pour que la projection horizontale du centre de gravité ne change pas; mais la seconde jambe ne peut reculer qu'en glissant sur le sol; c'est alors que se développe une réaction oblique du sol due au frottement et dirigée d'arrière en avant. Cette réaction, trans- portée parallèlement à elle-même au centre de gravité, détermine son mouvement en avant.
5** Recul des armes à /eu. — Supposons une arme à feu horizontale de masse M : soit m la masse du projectile et {x la masse d'une particule de poudre; avant la combustion de la poudre, la vitesse du centre de gravité est nulle; immédiatement après, elle doit l'être encore, car les seules forces développées sont intérieures, les effets de la pesanteur et des résis- tances passives pouvant être regardés comme nuls pendant le temps très court de la combustion. On aura donc, en appelant V, v et w les valeurs absolues des vitesses initiales de l'arme, du projectile et de la particule fx,
M V — mv — 2 ^ cr = o,
car les vitesses des particules et du projectile sont évidemment de sens
contraire à celles de l'arme. Le signe S indique une sommation étendue à
toutes les particules de la charge; comme on ne connaît pas w et que la
masse m' = Zfx de la charge n'atteint pas le quart de m, on peut prendre
p — V approximativement w égal à la moyenne algébrique — ^ — : on a ainsi
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. ^3
Téquation
V( 2 M + m' ) = c ( 2 m -i- m' ),
qui donne le rapport des vitesses V et v.
6* Exercice. — Sur un plan horizontal parfaitement poli est-placé un brin de paille rectiligne AB de longueur 2/ et de masse m {fig. i83); un insecte M de même masse, regardé comme un point, est d*abord immobile
Fig. i83.
6 -—A khi ^ ^^
en A; à Tinstant / = o, il se met à marcher de A vers B, en avançant le long de AB d'un mouvement uniformément accéléré (AM = a/'); quel est le mouvement du système?
Les seules forces extérieures étant les poids et les réactions normales du plan horizontal, la projection horizontale du centre de gravité reste fixe. De plus, il est évident, par raison de symétrie, que le brin de paille AB ne peut que glisser le long de sa direction primitive. Prenons cette direction pour axe Oâr, appelons x et x' les coordonnées du milieu C de AB et du point M, To, ^0 les valeurs de ces coordonnées au temps / = o. Nous
aurons
X -\- x' = x^-\- x'^
|
Comme |
||
|
x' ■= X — / -4- at^, |
^0 =Xo—ly |
|
|
on a donc |
||
|
X =Xo , 2 |
La réaction du brin de paille sur l'insecte s'obtient immédiatement; en appelant X cette réaction et écrivant l'équation du mouvement de M, on a
m —7-— = A, X = ma.
II. - THÉORÈME DES MOMENTS DES QUANTITÉS
DE MOUVEBfENT.
328. Démonstration. — Revenons aux équations (i); multi- plions la première par — y^ la deuxième par j?, et ajoutons, nous aurons
équation qu^on peut écrire
M DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
supposons écrites les équations analogues pour tous les points du système et ajoutons-les membre à membre, il nous viendra
mais SS(j:Y,- — ^'X/) représente la somme des moments de toutes les forces intérieures par rapport k Oz; cette expression est donc nulle, puisque ces forces sont deux à deux égales et directement opposées. Nous arrivons ainsi à Téquation
et nous pouvons énoncer le théorème suivant :
Théorème. — La dérivée, par rapport au temps, de la somme des moments des quantités de mouvement des points dusystème par rapport à un axe fixe quelconque est égale à la somme des moments des forces extérieures par rapport à cet axe.
329. Théorème des aires. — Supposons que la somme des mo- ments des forces extérieures par rapport à un axe soit constam- ment nulle; en prenant cet axe pour axe desz, le théorème pré- cédent devient
(4)
M't-r"^)"'-
La somme des moments des quantités de mouvement par rap port à cet axe est alors constante.
Fig. 184.
On dit aussi que le théorème des aîres s'applique à la projection du mouvement sur un plan perpendiculaire à cet axe. Projetons
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. aS
les points mobiles m^ , /n2, . . . , m, ... sur le plan xOy perpendi- culaire à Taxe, en/?,, /?2, ...,/?..., et désignons par A|, A2, . . ., A, . . . les aires balajées par les rayons vecteurs O/?,, 0/?2, • • ., Opj . . ., nous aurons
1 dX = X dy — y dx et, par conséquent,
V^ / f/K dx\ v^ //A
L'équation (4) s^écrit donc ou, en intégrant
Donc la somme des produits obtenus en multipliant les aires balajées par les masses correspondantes varie proportionnelle- ment au temps. La constante des aires, C, est le double de la variation de SmA pendant Tunité de temps.
Si, en particulier, le système n'est soumis à aucune force exté- rieure, le principe des aires s'applique à la projection du mou- vement sur un plan quelconque autour d'un quelconque des points de ce plan : c'est ce qui se présente pour le système solaire si l'on néglige les actions des étoiles.
Le théorème des aires, quoiqu'il fût une conséquence immé- diate des principes de Newton, a été énoncé bien après lui par Euler, d'Arcy et Daniel Bernoulli (1746).
Application à un être vivant, — Si l'on applique le théorème précédent à un observateur debout sur un plan de glace horizontal, on voit que le théorème des aires a lieu autour de tous les points de ce plan ; en effet, les forces extérieures, poids et réactions du plan, agissant sur l'observateur étant toutes verticales, la somme de leurs moments est nulle par rapport à un axe vertical O^ quel- conque : l'équation (4) a donc lieu quel que soit le point O dans le plan horizontal. Si l'observateur est d'abord immobile, les
quantités ^* -~ sont d'abord nulles : alors C =: o. Lorsque ensuite
l'observateur veut se mouvoir, G reste nul : une partie de son
a6 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
corps ne peut tourner dans un sens sans qu'une autre partie tourne en sens inverse (Delaunay). Mais il faut remarquer que, malgré cette condition, l'observateur d'abord immobile sur le plan pour- rait, par des mouvements successifs des différentes parties de son corps, se retrouver dans une position finale déduite (en apparence) de la position initiale par une rotation d'ensemble autour de la verticale du centre de gravité. La possibilité de tels mouvements résulte des exemples que nous traitons plus loin, notamment des exemples 3 et 4 du n° 333.
330. Représentation géométrique des deux théorèmes. — Les deux théorèmes que nous venons de démontrer sont susceptibles d'une représentation géométrique très simple.
Menons par chacun des points m du sjrstème le vecteur qui représente la quantité de mouvement mv de ce point. Tous ces vecteurs mt' ont une résultante générale Op ayant pour projec- tions
(p) '=2"'^' ^=2"'^' ^^H^'î'
et un moment résultant Oo-, par rapport à l'origine O, ayant pour projections (yïg'. i85)
>-2"'(^S-S)
<" i''-E°'i-'$-'a)
dy dx\
dt ""^ Tïi)
=-^ni[x± -7 — »•
Prenons maintenant les forces extérieures : leur résultante générale OR a pour projections
(R) X = 2:2X,, Y=S2Y„ Z = S2Z,,
et leur moment résultant OS par rapport à O a pour projections
Le théorème des quantités de mouvement projetées donne alors
dt " ' dt ~ ' dt ~^'
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES.
el le théorème des moments des quantités de mouvement
a7
^ = L, ^ = M, dt ' ^ dt
Fi g. i85.
dt
Ces six équations expriment que les vitesses des points géomé^ triques p, a sont, à chaque instant, respectivement égales et parallèles aux segments OR et OS.
331. Cas particulier où le moment résultant des forces exté- rieures est nul par rapport au point O. Plan du maximum des aires. — Dans ce cas, les quantités L, M, N sont nulles, le seg- ment OS est nul. Le point o- est fixe et les quantités \ [jl, v sont constantes, quelle que soit l'orientation des axes fixes autour du point O. Le principe des aires s'applique alors à la projection du mouvement sur un plan quelconque P passant par O. Pour voir quelle est la constante des aires sur ce plan, prenons-le pour plan àesxy : nous aurons
V^ / dv dx\
La constante v est la projection du segment fixe Oo- sur l'axe des z, c'est-à-dire sur la normale au plan P. Ainsi la constante des aires sur un plan passant par O est la projection de Oo- sur la normale au plan. De là résulte que, parmi tous les plans passant par O, celui pour lequel la constante des aires est la plus grande est le plan perpendiculaire à Oo-; on l'appelle /?/a/i du maximum des aires. La constante des aires est d'ailleurs nulle pour tout plan passant par Oo-.
28 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
332. Somme des moments des quantités de mouvement des points d'un corps solide tournant autour d'un axe par rapport à cet axe. — Considérons^ un corps solide tournant autour de
Taxe Oz avec une vitesse angulaire co. Soient r et 0 les coordonnées polaires de la projection d'un point m{x^y, z) du corps sur le plan des xy, on a
m
Vdt
dt )
dt
Donc, en appelant MA:^ le moment dMncrtie du corps par rap- port à Taxe de rotation, on a, pour la somme des moments des quantités de mouvement de tous les points du corps par rapport à Taxe
c'est-à-dire le moment d^ inertie multiplié par la vitesse angu- laire,
333. Exemples. — i" Les extrémités d'une droite matérielle homogène AB de masse m et de longueur 2a peuvent glisser sans frottement sur une circonférence horizontale de rayon R. Un insecte de même masse m se
Pig. i86.
trouve posé au milieu de la droite supposée immobile. A l'instant f = o, l'insecte se met à marcher le long de la droite AB, de G vers B, en par- courant des longueurs égales de cette droite en des temps égaux. Trouver le mouvement du système; calculer l'angle dont la droite a tourné à partir de sa position initiale quand l'insecte est arrivé à l'extrémité B.
On appellera 6 l'angle que fait avec un axe fixe le rayon vecteur joignant
CHAPITRE XVIIl. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 29
le centre O au milieu C de la droite, r la distance CM de Tinsecte M au point C, r = vti^v constante). (Licence, juillet 1891.)
Les forces extérieures agissant sur le système formé par la droite et l'insecte sont : i** la pesanteur; i^ les réactions normales de la circonfé- rence sur les extrémités A et B de la barre. Toutes ces forces ont leurs moments nuls par rapport à la verticale O^ du point O, car les poids sont parallèles à Oz et les réactions normales sont dans les plans normaux à la circonférence aux points A et B, plans qui contiennent Oz, La somme des moments des quantités de mouvement par rapport à O2 est donc con- stante et, comme elle est d'abord nulle, puisque Tinsccte et la barre partent du repos, elle reste constamment nulle. Calculons cette somme; elle se compose :
1"* De la somme des moments des quantités de mouvement des différents points de la droite par rapport à Oz : comme la droite est un corps solide
tournant autour de Oz avec une vitesse angulaire --r^ cette somme est
mk^—z-y mk^ désignant le moment d'inertie de la barre par rapport
àO^; 7? Du moment de la quantité de mouvement de l'insecte M; comme les
coordonnées polaires de M sont p et a = a:0\l, ce moment est ni^^'-r* On a donc
A:* -r- -h p' -r =0. dt ^ dt
Or le triangle rectangle COM donne immédiatement
/ vt
p = /R* — a^-hi'*/', a = 0 -4- arc tang
Substituant dans l'équation précédente et réduisant, on a
|
d^ vs/W' ai |
|
|
de A«-h K^—a^-hv^e*' |
|
|
/ H«— rt* vt |
|
|
/ - . -. «Jl L, Lu II If ■ |
a« |
Oo désignant la valeur de 0 à l'instant t = o. Les autres équations écrites plus haut donnent alors p et a en fonction de t. Quand l'insecte est arrivé en B, on & çt = a; on en déduit la valeur demandée de 6 — Oq.
Déterminons exactement A:*. Le moment d'inertie de la droite AB par rapport à son centre de gravité C est, en appelant fx la densité linéaire (masse de l'unité de longueur) et r la distance d'un élément dr au centre.
r^"" , . 2 fia' a*
|
p |
3o nx.\*lllQUB bKS STSTÉHES. |
1 |
||||
|
1 |
le momenL d'incrlîe mk' |iar ruppirc à l'a^e Os ou -.lu |ioiiii 0 esl •Jonc |
^^1 |
||||
|
1 |
(n'317j |
^^k |
||||
|
1 |
„,f.„5c', ] |
^1 |
||||
|
L. |
donc ^J |
^1 |
||||
|
■ |
m |
H |
||||
|
Si, à un moment quelconque, l'insecie s'arrête sur la droite, le système" |
H |
|||||
|
tout entier devienL immobile, car, s'il ne le devenait pas, ta somme dw |
^^1 |
|||||
|
moments des quantités de mouvement ne serait pas nulle. |
^^H |
|||||
|
3* Une feuille de papier esl posée à plat sur un plan liorixnntal parfai- |
^^1 |
|||||
|
temeat poli sur lequel elle peut glisser sans rrotlemenl; un point [0 de |
^^1 |
|||||
|
cette feuille esl fixe, de tulle façon que la feuille ne peut que tourner |
^^1 |
|||||
|
autour de 0 en restant sur le plan ; c'est ce qui arriverait, par e%eraple, si |
^^1 |
|||||
|
la feuille était traversée par une épingle piquée en 0 dans le plan horl- |
^^1 |
|||||
|
xontal; enfin sur la feuille de papier est tracée une circonférence de rayon a |
^^1 |
|||||
|
passant par 0 (_^g. 187, 1 et 11). |
^^1 |
|||||
|
Le papier étant immobile, un insecte est posé sans vitesse sur celte |
^^1 |
|||||
|
circonférence au point A, dianiétralement opposé à 0. A l'instant 1 = 0, |
^^k |
|||||
|
Fig. .8;. 1 |
^1 |
|||||
|
n |
1 |
|||||
|
/- — X |
||||||
|
0 |
' ^ |
/ |
^::<^^-7 |
H |
||
|
A |
||||||
|
v_^ |
'\y_y *■ / |
1 |
||||
|
■ |
"^""""--7 |
|||||
|
l'insecte se mat à marcher sur le papier en suivant la circonférence avec |
H |
|||||
|
une vitesse 1' constante par rappori au papier. Trouver le mouvemenl du |
^^1 |
|||||
|
système ( Rolth, Aigid dynamia). |
^^1 |
|||||
|
Nous prendrons dans le plan, comme axes fixes, l'axe Ox coïncidant |
^^1 |
|||||
|
avec la position îniliule de OA (posilion I) ei un axe 0/ perpendiculaire. |
^^1 |
|||||
|
Les forces extérieures appliquées au système (piipicr et insecte) sont les |
^^1 |
|||||
|
poids, les réactions normales du plan, les réactions de IVpinjjle 0 sur le |
^^H |
|||||
|
papier. Toutes ces force* ont leurs moments nuls par rapporta un axi- Os |
^^1 |
|||||
|
perpendiculaire en O au plan .cOy. Donc la somme des moments des |
^^1 |
|||||
|
! |
quantités de mouvement par ■irea s'applique au raouveme ^1 |
apport ù 0* e |
t^^Mtt; k ibéori,.!,' dsi |
j |
||
|
l du .,,iémc É |
||||||
|
-^ |
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 3l
le système pari du repos la constante des aires est nulle. On a ainsi
2
,^6 m r^ —r = o.
L'insecte tournant dans un sens autour de O, le papier devra tourner en sens contraire. Calculons la somme des moments des quantités de mou- vement. A rinstant t {Jtg. 187, II), l'insecte est en M; appelons r et 6 ses coordonnées polaires, 0 étant supposé positif. Au même instant, le diamètre issu de O a pris la position OA' faisant avec Ox un angle négatif que nous appellerons — a, de sorte que a désigne la valeur absolue de l'angle xOX!, Le moment de la quantité de mouvement de Tinsecte
est '^''^-f/f la somme des moments des quantités de mouvement des
doL divers points du papier est — \ -t- t ï désignant le moment d'inertie du papier
di par rapport à 0«, car la vitesse angulaire du papier est — -1-. On a donc
l'équation
, . ^di) . dm
Il faut exprimer que l'arc de circonférence A'M parcouru par l'insecte est égal à (^/ : on a ainsi, puisque A'OM = 0 -h a,
(2) '2a(0 -f-a) = i/, 0-T-a^X/,
en posant pour abréger X = ; D'autre part le triangle rectangle A'OM
donne
(3) r = •iacos(0 -h a) = artcosX/. Remplaçant, dans (1), /• par cette valeur et a par X/ — 6, on a
r/e =
X dt 4 m a'
I -h [icos'X/ ' I
En écrivant
I -h rjL -h tangO./ 00 a, par l'intégration,
(4) 0 = — L=arctangri^]
sans ajouter de constante, car, pour / = o, G = o. On a ainsi 6 en fonc- tion de t\ en remontant, les équations (3) et (2) donnent /et a en fonction de /. Le mouvement est donc connu.
32 DVNAMIQDB DBS SVSTKHES.
Cherchons quel esl le temps T que met l'insecte à arriver en O, et quelles sont les valeurs correspondantes de S et a. Alors, d'après (3) et (4),
L'insecte continuant à tourner sur le cercle, le paj en sens contraire de l'insecte.
3* Dans l'exemple précédent, le point O de la feuille de papier est fixe. Mais on peut réaliser un mouvement de rotation du roéine genre sans Gxer aucun point, par le procédé suivant. Supposons une feuille de papier dont le centre de gravité est O pouvant glisser sans frottement sur le plan horiionial et traçons sur ce papier {.fig. 188) deux circonférences
égales tangentes en 0. Imaginons deux insectes de même masse — > d'abord
posés aux points A et A| diamétralement opposés â O, puis si
Fig. 18S.
marcher sur les deux circonférences avec la même vitesse v dans le même sens de rotation, de façon i occuper, à un instant quelconque, deux posi- tions M et M| symétriques par rapport au point O du papier.
D'après le théorème du mouvement du centre de gravité, le point O, qui esl le centre de gravité de tout le système, reste fixe puisque les vi- tesses initiales sont nulles) la feuille de papier tourne alors autour du point lixe O en sens contraire du mouvement de circulation des deux insectes et les équations de ce mouvement sont identiques aux précé-
dentes, si l'on suppose, comme n< insectes M et M| a la moitié de la
C'est par un procédé analogue q glace parfaitement poli pourrait élève ses deux poings en ticale O^ du centre de gi
: la'
edel'
fait, que chacun
nsecte unique de l'exemple
ibservateur debout sur un plan de à se retourner ; il suffirait qu'il plaçant symétriquement par rapport à la vér- ité du corps, puis qu'il leur fasse décrire deux
cercles dans le même sens de rotation en les maintenant toujours symé- triques par rapport à Os; le corps tournerait autour de 0- en sens con- traire et arriverait, an bout d'un certain temps, à faire une révolution complète.
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 33
4^ Imaginons un observateur debout, immobile, sur un plan horizontal parfaitement poli et portant une ceinture, en forme de gouttière, dans laquelle se trouveraient placées des boules pesantes d'abord immobiles. Si Tobservateur, avec ses mains, se met à pousser les boules de façon à les faire tourner autour de son corps toutes dans le même sens, le centre de gravité du système restera sur une verticale fixe et le corps tournera autour de cette verticale en sens inverse des boules.
On pourra consulter, sur les problèmes du genrç de ceux que nous venons de traiter, diverses Notes de MM. Guyou, Maurice Lévy, Marcel Deprez, Picard, Appell, Lecornu {Comptes rendus, 2* semestre 1894, Bulletin de la Société Mathématique, novembre 189I) et une Note de M. A. de Saint-Germain {Nouvelles Annales de Mathématiques, iSgS) où se trouve développé le quatrième des exemples précédents.
334. Mouvement relatif par rapport à un système d'axes animé d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme. — Soit (y X* y z^ un système d'axes parallèles aux axes fixes dont Torigine mobile O'a pour coordonnées a, 6, c. Appelons a:', ^, 2' les coor- données d'un des points du système par rapporta ces axes,^,^, z désignant ses coordonnées absolues. On a
x=.a-^x\ y-=.b-\-y\ z = c-^z'.
Si le point O' est animé d'un mouvement rectiligne et uni- forme, on a
d^a d*b d*c
-dF^""^ -5/^=^» :5Zr=^'
d^x _ d^ d^ _ rf«y d^ _ d^z'
Ui ^ dt^^ 'di^ " ~dt^ ' dt^ ■" ''dÔ'
D'ailleurs les projections des forces sur les axes mobiles sont les mêmes que sur les axes fixes. Les équations du mouvement de chaque point, et, par suite, les équations du mouvement de tout le système gardent donc la même forme que si les axes O'x^yz' étaient fixes,
335. Théorème des moments des quantités de mouvement dans le mouvement relatif autour du centre de gravité. — Le théorème des moments des quantités de mouvement s'applique, comme nous venons de le montrer, au mouvement d'un système par rapport à des axes fixes ou par rapport à des axes de directions
A., IL 3
fixes animt's d\in mouvement de IryasIalJon rectiligoe el iiai-
forme (^S-i). Si Toa ^oulait étudier le mouvement relatif d'ua
■^sii'ine par rapport à des axes mobiles quelconques, on ne
I pourrait plus applii|tier ce iht-'oièuie sans le modifier par Tinlro-
I duction de certains termes correctifs rjui seront définis plus loin
dans la théorie du mouvement relatif. Mais il existe un système
I particulier d'axes mobiles tel que si l'on étudie le mouvement
I relatif d'un système par rapport à ces axes, on peut appliquer à
iiiiveriieiil le théorème des motneiils des (jiiantités de moii-
k vcmciil sans mudilictition. Ces axes p;irliciitiet's sont des axes de
I diretitions fixes passant par le centre de •jravilè. Ou énonce ce fait
Lan disant i]ue le t/téorème des moments des quantités de niouve-
\ ment s'applique au mouvement reUitif du système par rapport
I à des axes de directions fixes passant par te centre de gravilè.
Pour le démontrer, désignons par j',»-, s les coordonnées d'un
1 point du système par rapport à des axes lixes, par \, y„ X, celles
f du centre de (;ravlté et juir x'.y', z! les cnordonnées du même
point par rapport à des axes Gx', 0^, G;' parallèles aux axes
Fi g. <8y.
fixes menés par le centre de gravité; on a alors, d'après les for- mules du changement d'axes,
Le théorème que nous avons en vue s'exprime par l'équation
a2'"(''^-/f)-2:2"-.-y.v...
iau'il s'agit d'établir. ^^^
CUAPITRB XVIII. — MOUVEMENT DBS SYSTÈMES. 35
Pour cela nous partirons de Tëquation
dans laquelle nous remplacerons x^ y^ z par les valeurs (5). Nous avons, diaprés ces équations,
m
, dri , d\ ^ dv' dx'
de -^ de ^ de ' de
Supposons ccriles toutes les équations analogues pour les divers points du système et ajoutons-les membre à membre, nous aurons
Mais le centre de gravité est à l'origine mobile; on a donc
de même
1
my ^- = o,
On a encore
dy' >\? ^y V dx'
I-if-sS-f-' 2
.,,^=0,
car, les quantités S/wx', S/wj^ étant nulles, leurs dtTÎvées le sont. En tenant compte de ces relations, nous obtenons Téquation
car, dans la première somme du second membre, on peut mettre /{^ _ ,jg\ en facteur et S/n = M.
36 DYNAMIQUE DRS SYSTÈMES.
Nous avons ainsi une expression importanle de
2m(xg-jKg);
elle s'inlerprèle immédialement de la façon suivante :
Théorèxe. — La somme des moments des quantités de mou- srement, par rapport à un axe fixe, est égale au moment de la quantité de mouvement de la masse totale du système sup- posée concentrée au centre de gravité, augmenté de la somme des moments des quantités de mouvement par rapporta un axe parallèle au premier et passant par le centre de gravité.
Celle dernière somme doil être calculée dans le mouvement relalif par rapporl à des axes de directions fixes menés par le cenlre de gravité.
Passons maintenant au calcul du deuxième membre de Téqua- lion (6). Nous aurons
Donc, en remplaçant les deux membres de Inéquation (6) par leurs valeurs et remarquant que
dt^\'di'^''^Tt)'-^^\^-dïi^''^dii)' on a Téquation
= îS:: Y.— T.rsx.^ is(xY.-.» x.^.
qui se réduit à
car, en vertu des équations du mouvement du centre de gnvilé, on a
M^jj. »*' ^ ^ ^
Le théorème est donc démontré.
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTEMES. 3y
336. Interprétation géométrique. — Comme dans le cas du mouvement absolu (330), il existe une interprétation géométrique simple de ce théorème. Soil Go-' le moment résultant par rapport au centre de gravité G des segments représentatifs des quantités de mouvement relatives mp', et GS' le moment résultant des forces extérieures. Le théorème exprime que la vitesse relative par rap- port aux axes Gx^y ^ de l'extrémité </ du premier moment est égale et parallèle à Tautre GS'.
337. Applications. — i° Théorème des aires. Si la somme des moments des forces extérieures est nulle par rapport à un axe de direction fixe mené par le centre de gravité, Taxe GV, par exemple, on a
Le théorème des aires s^applique alors à la projection du mou- vement relatif sur le plan x'Gy^ le centre des aires étant G.
2** Le moment résultant des forces extérieures par rapport au point G est nul. — S'il n'y a pas de forces extérieures ou si la somme des moments de ces forces par rapport aux axes (jx\
Fig. 190.
Gy^ Gz* est constamment nulle, on a l'intégrale (8) et deux autres analogues
(9)
Dans ce cas, le segment GS' (n° 336) est nul; le point 9^ a une "^tASse relative nulle et le segment Go*' est constant en grandeur.
18 DYNAMIQUE DES 8T8TàMES.
direction et sens : ses projections sur les trois axes Gx\ G^, G^ Moiit les constantes A, B, G. Le théorème des aires s'applique Hlom à la projection du mouvement sur un plan quelconque P de ilir<?ction fixe passant par le centre de gravité, car on peut tou- jouTH prendre un tel plan pour plan x'Gy', La constante des aires imr ce plan P est la projection du segment Go'^sur la perpendi- culaire G/i au plan. G'est donc sur le plan II perpendiculaire à (îy que cette constante prend sa valeur maximum : ce plan s'ap- pelle/9/an du maximum des aires. Sur un plan passant par Gv la constante des aires est nulle.
3** Application au système solaire. Plan invariable de La- place, — Si Ton néglige l'action des étoiles, le système formé par le Soleil, les planètes et leurs satellites n'est sollicité par aucune force extérieure. Si donc on imagine des axes de directions fixes inenéâ par le centre de gravité G du système, qui est placé très prèti du Soleil, le moment résultant Gt' des quantités de mouve- ment relatives à ces axes par rapport à G est constant en gran- deur, direction et sens. On peut, à une certaine époque, calculer leb projections A, B, G de ce segment sur les axes, en calculant le« iiommes des moments des quantités de mouvement de tous les poiiiU du s)^stème par rapport aux axes.
Le plun n perpendiculaire au vecteur Go^ ainsi déterminé a une direction constante : c'est le plan du maximum des aires. On 4 uiiibi un moyen, indiqué par Laplace, d'obtenir un /7/a/i i/it^a- / itifj/fi dans le système solaire Lnplace, en déterminant ce plan in- >4nn\t\iif avait calculé les quantités A, B, C comme si les planètes ^:^iêinitl réduites à des points placés à leurs centres; Poinsot com- |d/:fii le calcul de Laplace en ajoutant les termes qui proviennent fi$: f«i rolalion des planètes sur elles-mêmes, termes qui ont d*ail- l^:Nf» peu d'influence sur le résultat final. (Voir Éléments de ,*iiulitfiie de Poinsot, 5" édition, noie.)
\4'.^ inéniei conclusions subsistent d'ailleurs même si l'on ne h^^\\\lLti pan l'action des étoiles : en effet, les distances des étoiles ^fll^ AWfur* points formant le système solaire sont tellement ^imnUii^^ par rapport aux dimensions du système, que les attrac- Utmk de» étoile» sur les divers points du système sont sensiblement pNMll^iei» et proportionnelles aux masses de ces points; dès lors f;il» aUraeiloiif forment un système de vecteurs équivalent à un
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DBS SYSTÈMES. Sg
vecleur unique appliqué au centre de gravité G du système et leur moment résultant par rapporta G est nul; le moment résultant Go*' des quantités de mouvement relatives par rapport à G est donc constant en grandeur, direction et sens.
4" Mouvement d'une barre pesante dans le vide, — Soit une barre pesante AB ifig- 191) lancée dans le vide, cette barre étant regardée comme une droite matérielle. Le centre de gravité G décrit une parabole. Si l'on mène par ce point des axes G r', (jy\ Oz' àe directions fixes, la
l'ipf. u)\.
y c
somme des moments des forces extérieures par rapport à chacun de ces axes est nulle, car les forces extérieures sont les poids qui admettent une résultante unique appliquée en G. On peut donc, dans le mouvement relatif par rapport aux axes x\ y\ z', écrire les trois intégrales (8) et (9). Soit/? le point de la barre situé à Tunité de distance de G dans un sens déter- miné, a, 6, c ses coordonnées par rapport aux axes Gx'yz', m un point situé à une distance r de G, r étant positif ou négatif, suivant que G m est ou non de même sens que Gp. Les coordonnées de m sont
X — ra^ y
dx da dy
dt dt dt
r=rb,
db dt
z = rCj dz'
de
dt '^ dt
L'intégrale (8) donne donc
db
a —,- dt
*J).m,-.= C,
OÙ la somme "Lmr^^ étendue à tous les points de la barre, est le moment d'inertie par rapport au point G.
4o DYNAMIQUE DBS SYSTÈMES.
De même les deux intégrales (9) donnent
l da dc\^ . „
Multipliant par 6, c, a et ajoutant, on a Téquation
Aa-i-B6-4-Gc = o,
qui montre que le point/? reste dans un plan n fixe par rapport aux axes Ga/y'z' et perpendiculaire au segment Gt' de projections A, B, G : c'est le plan du maximum des aires. Le point/? et tous les points de la barre dé- crivent des cercles de centre G : comme le principe des aires s'applique aussi au plan n, la barre tourne autour de G dans ce plan, avec une vitesse angulaire constante.
5" Système pesant déforntahle, — Un système pesant quelconque étant lancé dans le vide, son centre de gravité G décrit une parabole; si par ce centre G on mène des axes de directions fîxes, la somme des moments des forces extérieures est nulle par rapport à ces axes; par suite, la somme des moments des quantités de mouvement relatives est constante par rapport à tout axe mené par G, et le théorème des aires s'applique autour du point G à la projection du mouvement sur tout plan d'orien- tation fixe mené par G : le vecteur Gar' est constant en grandeur, direction et sens.
Par exemple, quand un homme fait le saut périlleux, il se donne au dé- part une certaine vitesse angulaire de rotation autour d'un axe horizontal GV mené par son centre de gravité; si le corps restait rigide, cette vitesse angulaire se conserverait à peu prés et ne serait pas sufGsante pour imprimer au corps une rotation complète de 36o^ avant qu'il retombe sur le sol. Mais, une fois lancé, l'homme ramasse son corps autour du centre de gravité, le moment d'inertie par rapport à l'axe diminue et, comme la
somme des moments des quantités de mouvement Smr^-T- doit rester
at
constante, la vitesse angulaire augmente et devient suffisante pour qu'une révolution complète soit possible avant la chute.
Dans cet exemple, l'homme possède une vitesse angulaire initiale qu'il augmente par le jeu des forces intérieures; mais il pourrait, même en se lançant sans vitesse angulaire initiale, arrivera tourner sur lui-même dans l'espace, d'un certain angle. C'est ce qu'on voit par les considérations dé- veloppées dans les exemples du n^ 333; ainsi un homme lancé dans le vide, avec un mouvement de translation, pourrait se retourner par des procédés analogues à ceux que nous avons indiqués à la fin du n*^ 333, pour un observateur placé sur un plan horizontal poli. C'est par ces mêmes consi- dérations qu'on explique comment un chat arrive, sans aucune aide exté- rieure, à se retourner dans une chute.
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 4*
338. Cas général où les théorèmes des projections et des moments des quantités de mouvement donnent une intégrale première. — Le théorème que M. Pennachielti a donné pour les fils et le mouvement d'un point libre (n° 131) a été étendu à un système par M. Koslelnikoff (Comptes rendus, t. XGVIII, p. 129). Les équations qui expriment ces théorèmes dans le mouvement absolu sont
^dtZi'^cit — -^" dt2d dt — ^"
U,2"(^ë-=s)==^^<^^-^''->
Supposons qu'il existe des constantes a, 6, c, />, q, r, telles que les forces extérieures vérifient la condition
( aS2X^H-ô2SYe-Hc2SZe-i-/?2:S(>'Z^— 5Y^)
j -h gr vv(3Xe— ^Ze) -f- rI.I,(x\^—yXe) = o;
on a alors l'intégrale V dx , v^ dv v^ dz xr' / dz dy\
''2é'"^^^2é"'w^''Z'^dï-^pZ'^[^di-=-dT)
2/ dx dz\ xr' / dy dx\
"*( ^ rf7 —^ d7 j -^ '• 2 "' (^ 3r -•>' rf<; =•=»"*' ■ •
car la dérivée du premier membre de cette équation est nulle en vertu des relations (lo) et de la condition supposée (ii).
La relation (11) signifie que le moment relatif du système des forces extérieures et d'un système de vecteurs Ç\\e% est constamment nul {tï"* ^(à)\ alors, le moment relatif des quan^tés de mouvement et du même système de vecteurs fixes est constant.
III. - THÉORÈME DES FORCES VIVES.
339. Démonstration. — Le théorème des forces vives a d'abord été employé par Huygens : il fcit énoncé sons une forme générale par Jean et Daniel Bernoulli. Pour le démontrer, nous partirons encore des équations du mouvement d'un point m du système :
/n —.—— — — -\| -t- — ^\ri d^y
dt'
4st DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
£n appliquant à ce point le théorème des forces vives, nous avons d— = I.{Xidx -h \idy -4- Zidz) + S(Xe^a: -4- \edf + Z^dz).
SI ensuite nous faisons la somme de toutes les équations ana- logues, il vient
(,) ûfVfL!!! = SS(X/€/.r-4-Y/<f/-+-Z/rf^)-+-SS(Xtfrfj?-i-Yed[r-hZtfrfx),
L#a somme Sm(^^ des forces vives des divers points se nomme la force vive totale (Leibnitz). On a donc le théorème suivant :
La différentielle de la demi-force vive totale du système est égale à la somme des travaux élémentaires de toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures.
Il est très important de remarquer que les travaux des forces intérieures ne disparaissent pas. C'est ce qu'on vérifie immédiate- ment. Soient, en effet, deux points /n et m' {fig- 192) situés à
Fig. 19Î.
'/#«'
une distance r l'un de l'autre : Taction de m* sur m est une cer- taine force dirigée suivant la droite mm\ et, inversement, l'action de m sur m' est une force égale et opposée. Suivant une conven- tion déjà faite (88), nous a|)peIons action mutuelle F des deux points la valeur commune des deux forces précédée du signe -+- ou du signe — , suivant que les deux points se repoussent ou s'at- tirent. Si les deux points subissent un déplacement infiniment petit quelconque, leur distance varie de dr^ et la somme des tra- vaux des deux forces appliquées aux deux points est (88)
¥dr\
nous dirons, pour abréger, que c'est là le travail élémentaire de l'action mutuelle des deux points.
D*après cela, en appelant Fy^;^ l'action mutuelle des points mj
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTEMES. 4^
et nik situés à la dislance ry^* l'un de l'autre, la somme des travaux élémentaires des forces intérieures est
la sommation étant étendue à toutes les combinaisons des points du sjrstème deux à deux.
Le théorème des forces vives s'écrit alors
(a) d^^ =^^{\,dx-^^iedy + Zedz)^^¥j,kdrj,,,
Considérons le mouvement du système pendant l'intervalle de temps fini l — Z^; dans ce mouvement, toutes les quantités qui figurent dans la relation (i) ou (2) sont des fonctions du temps : nous avons donc, en intégrant de /q ^ ^)
XmP«_2mrJ ^ f' yz(\edT -^\edy -^Zedz) --- f i:Fj,,drj,,..
La variation de la demi-force vive, pendant V intervalle de temps fini t — /o» ^^^ donc égale à la somme des travaux de toutes les forces, tant intérieures qu^ extérieures, appliquées au système.
m
340. Remarque sur les corps solides. — Si le système est un corps solide dans le sens de la Mécanique rationnelle, c'est-à-dire un système dont tous les points sont à des distances invariables les uns des autres, les travaux élémentaires des forces inté- rieures ont une somme nulle. En effet, dans ce cas, les distances rj^k sont toutes constantes : on a donc
drj^/i = o et '^Fj,kdrj^k^o,
Donc, pour un corps solide, la différentielle de la demi-force vive est égale à la somme des travaux élémentaires des seules forces extérieures.
44 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
341. Cas dans lequel l'action mutuelle de deux points du sys- tème est fonction de leur seule distance. — Si Ton suppose que raction mutuelle Fj^fg de deux points quelconques mj et m^ est une fonction de leur seule distance /'y, a, Ict somme des travaux élémentaires des forces intérieures est une différentielle totale exacte d^une fonction des distances mutuelles. En eBel, on a alors
Fy, A- = ? ( O. * ), Fy, k drj^ k = dj^ ( ry, k ) drj^ ^.
Chaque terme de la somme des travaux élémentaires des forces intérieures 51^y>*^'V,* ^^^ alors une différentielle exacte; la somme elle-même en est une.
342. Cas où le théorème des forces vives donne une intégrale première. — Si la somme des travaux élémentaires de toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, est une différentielle totale exacte d'une fonction U(:ri,yi, ^Si, ...» Xnyyny ^n) àes coordon- nées des points du système, on a
A désignant une constante arbitraire appelée constante des forces vives. L'intégrale première ainsi obtenue est Vintégrale des forces vives. La fonction U est \^ fonction des forces.
Pour que celte circonstance se présente, il faut, mais il ne suf- fit pas, que les forces intérieures et extérieures dépendent unique- ment des positions et non des vitesses des points.
343. Homogénéité. — Si l'on prend pour unités fondamentales les unités de longueur, temps et masse, on sait qu'en rendant Tunilé de longueur X fois plus petite, celle de temps t fois plus petite, celle de masse [jl fois plus petite, l'expression d'une lon- gueur est multipliée par X, celle d'une masse par [x, celle d'une
vitesse par -; la force vive V est donc multipliée par ^^-;
d'autre part, l'expression d'une force est multipliée par ^> et, par suite, celle d'un travail (produit d'une force par une longueur)
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTEMES. 45
est multipliée par ^—^' Les deux membres de l'équalîon des forces
vives (2) sont donc bien du même degré d'homogénéité. Si le travail est exprimé, par exemple, en kilogrammètres, la force vive sera aussi un certain nombre de kilogrammètres. Si le travail est exprimé en ergs {erg, uniié de travail du système C. G. S.), il en est de même de la force vive.
3<44. Exemple. — Appliquons le théorème des forces vives au mouve- ment de deux points matériels libres, de masse m et m', s'attirent l'un l'autre suivant la loi de Newton et attirés suivant la même loi par un centre fixe O de masse fji.
Fig. 193.
rn.
Le système mobile est ici composé de deux points : les forces intérieures sont les attractions mutuelles des deux points. Si l'on appelle ria distance
mm\ la valeur algébrique de l'action mutuelle de m et m est F = — ~ — - — >
/" ' et son travail élémentaire Fdr = — - — - — dr. Les forces extérieures sont
les attractions P et P' du point O : si l'on appelle p et p' les distances 0/n et Om', les valeurs algébriques de ces attractions, suivant la conven- tion faite dans la théorie des forces centrales, sont — *^ , > — "^ ,, >
p« p't
et leurs travaux élémentaires — —^-r-dp, — "^ ., dp ,
p* ^ p* ^
Le théorème des forces vives donne donc, si l'on appelle v et v' les deux
vitesses
f .1*
ms^^^ms^'^ fmm' f^^ l^
2 /•« p« ^ p'« P
On se trouve alors dans le cas du numéro précédent : le second membre est une différentielle totale exacte, et Ton a l'intégrale des forces vives
mp* ^ mV* _ fmm! /^t/n fv-^ , .
r p p'
34-0. Distinction des forces en forces directement appliquées et forces de liaison. — Dans ce qui précède, nous avons partagé l'ensemble des forces appliquées à un système en deux catégories,
^g DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
les forces intérieures et les forces extérieures. Celle dîslînclion est surtout imporlante dans la théorie de l'énergie, comme nous le verrons dans le § IV. Dans beaucoup de questions de Méca- nique rationnelle, et surtout en Mécanique analytique, il est plus simple de partager les forces appliquées au système en deux autres catégories : les forces de liaison provenant des liaisons impo- sées au système et les forces directement appliquées ou forces données que Ton fait agir sur le système. C'est de cette façou que Ton classe les forces quand on cherche les conditions d'équi- libre d'un système à l'aide du principe des vitesses virtuelles (n" lo7). Nous pourrons alors énoncer le théorème des forces vives sous la forme suivante :
La différentielle de la de mi- force vice totale est égale à la somme des travaux élémentaires de toutes les forces, tant données que de liaison, appliquées au système.
34-6. Cas particulier important où les travaux des forces de liaison sont nuls. — Si les liaisons sont indépendantes du tempsy c'est-à-dire exprimables par des équations où ne figurent que les coordonnées des points du système et non le temps, comme au n° 176; si, de plus, les liaisons sont parfaites, c'est-à-dire ont lieu sans frottement, la somjne des travaux élémentaires des forces de liaison est nulle pour le déplacement réel que subît le système pendant le temps dt. En effet, dans ces conditions^ le déplacement réel du système est évidemment com/)a/<6/e avec les liaisons, et la somme des travaux des forces de liaison* est nulle (n" 162). On a donc le théorème suivant :
Si les liaisons sont indépendantes du temps, et s'il n'y a pas de frottements, la différentielle de la demi-force vive est égale à la somme des travaux élémentaires des forces directement appliquées.
Il peut arriver, dans ce cas particulier, que la somme des tra- vaux élémentaires des forces directement appliquées soit une différentielle totale exacte d'une fonction U des coordonnées des points du système, c'est-à-dire que les forces directement appli- quées dérivent d'une fonction de forces U : le théorème des forces
CHAPITRE XVIII. — MOUVKMBNT DES SYSTEMES.
vives donne alors les équations
47
^^^==^U,
'2
1
= U -r- A,
dont la seconde est Tinlégrale des forces vives.
Remarque 1. — Quand le sjstcme csl à liaisons complètes (n** 168) indépendantes du temps et sans frottement, le théorème des forces vives donne immédiatement l'équation unique du mouvement. En effet, la position du système ne dépend alors que d'un paramètre, et le théorème des forces vives fournit une équa- tion où n'entrent que les forces données et (jui permet de calcul<;r ce paramètre unique en fonction de t.
Remarque II. — Si certaines liaisons dépendent du temps, le travail des forces de liaison correspondantes n'est |)as nul, en général, pour le déplacement réel du système. On a un exemple élémentaire du fait dans le mouvement d'un point assujetti à glisser sans frottement sur une courbe mobile : le travail de la force de liaison n'est pas nul dans le déplacement réel du point (n« 2o8).
3^7. Application. — Chaîne homogène pesante glissant sans frotte- ment sur une courbe fixe. — Soient -i / la longueur de la chaîne AB, p la masse de Tunité de longueur, et, par suite, il^ la masse totale.
Prenons un axe Oz vertical dirigé vers le haut; appelons s Tare de la courbe fixe, sur laquelle glisse la chaîne, compte depuis un point fixe O'
Fig. i9/|.
«rty
jusqu'au point de la courbe d'ordonnée z\ la courbe étant donnée, on peut toujours exprimera en fonction de 5,
(I)
^ = ?(0-
Cela posé, appelons, en particulier, 9 l'arc O'M, du point O' jusqu'au milieu M de la chaîne, point qui n'est pas le centre de gravité : il est
48 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
évident que la position de la chaîne est connue, dès qu'on connaît a. La chaîne sur la courbe forme donc un système à liaisons complètes (d*168)- La chaîne étant supposée inextensible doit être regardée comme une file de points matériels liés de telle façon que chacun d'eux esta une distance constante de celui qui le précède et de celui qui le suit.
Les forces appliquées au système sont : i*^ les poids mg des points (forces données); 2" les réactions normales de la courbe (forces de liaison); 3" les actions mutuelles de deux points consécutifs (forces de liaison). Si Ton voulait adopter la classification en forces intérieures et extérieures, les actions mutuelles des points consécutifs seraient des forces intérieures, les poids et les réactions des forces extérieures.
Quand la chaîne glisse sur la courbe, les travaux des forces de liaison sont nuls; il est aisé de le vérifier : les réactions sont normales aux dépla- cements des points, l'action mutuelle F de deux points consécutifs a un travail nul, car la distance de ces points est invariable. Il ne subsiste donc que les travaux élémentaires des poids. Pour les évaluer, considérons sur la chaîne en m un élément de longueur oX dont la distance M m au point M le long de la chaîne soit X, X étant compté positivement dans le sens AB, de sorte qu'on aura tous les éléments de la chaîne, en faisant varier X de — / à -}- /. La coordonnée z de l'élément oX est
- = <p(<j-i-X),
car l'arc O' nx est ; = v + X. Si l'on fait glisser la chaîne d'une longueur d^ pour l'amener de AB en A'B', le z de l'élément SX croît de
£/-5 = o' ( Œ -t- X ) rfff,
et le travail élémentaire du poids g^ 8X de cet élément est
— g^ cX dz — — g^ oX «p'(^-«- X) d(5,
La somme des travaux élémentaires des poids de tous les éléments est la somme des expressions telles que la précédente, lorsque X varie de — /û -:- /: c'est donc
On peut écrire celte expression
— ?^^^(-i — -0),
en désignant par ^o et z^ les z des extrémités A et B de la chaîne. On voit que ce travail est le même que celui que l'on devrait effectuer pour trans- porter l'élément Kk! ■=■ dz de la chainc d'une extrémité à l'autre, sans déplacer le reste du système.
D'autre part, dans le inou\omcnl do la chaîne, tous les points mont
CUAPITBE XVIII. ~ MOUVEMENT DBS SYSTEMES. 49
même vitesse v = -p : la force vive est donc
at
L'équation des forces vives est alors
la forme de cette équation montre que Ton aura / en fonction de v par deux quadratures seulement. Si l'on divise les deux membres par dt et si l'on effectue les différentiations indiquées, elle devient
<'> -dF^--^-^' TF •
équation analogue à celle du mouvement rectiligne d'un point sous l'action d'une force dépendant de la seule position. Gomme vérification, si l'on suppose que la longueur / de la chaîne tende vers o, le deuxième membre a — ^?'(<y) pour limite et l'on retombe sur l'équation
équation du mouvement d'un point matériel pesant sur la courbe fixe.
Comme l'équation du mouvement de la chaîne ne dépend que de la fonc- tion ^, le mouvement restera le même lorsqu'on développera le cylindre qui projette horizontalement la courbe donnée, sur un de ses plans tangents.
11 y a deux cas où le mouvement du milieu de la chaîne ne dépend pas de sa longueur :
1° La courbe fixe est une hélice tracée sur un cylindre vertical. On a alors
(3p(5) — a5,
1 désignant une constante, et l'équation (a) se réduit à
7//-i^-^^
ï
équation indépendante de /;
2** La courbe fixe est une cycloïde d'axe vertical ou une courbe obtenue en l'enroulant sur un cylindre vertical. On sait que dans ce cas on a (250)
5*
par conséquent l'équation du mouvement de M est
ÇJ.
A., IL 4
5o
DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
Dans CCS deux cas, le milieu M se déplace comme un point matériel pesant isolé sur la courbe (PuiSEUx, Journal de Liouville, t. VïH).
Les deux formes de ^ que nous venons de considérer sont d'ailleurs les seules qui jouissent de cette propriété. En eiïet, si Téquation du mouve- ment doit être indépendante de /, on doit avoir
•2/
- Vi^;.
Chassons les dénominateurs et prenons les dérivées secondes par rapport à / des deux membres, nous avons
quels que soient cr et /; il en résulte que la fonction o''{s) doit être indé- pendante de 5,
Si k est nul, on en tire
c'est le cas de l'hélice. Si k ■/ o, on doit avoir
©(5) = a(5 — *o):
îp(5) -^ kKS' .Vo)---C,
équation qui caractérise une cycloïdc.
La courbe qui porte la chaîne peut être formée de plusieurs parties <j:éométriquemcnt distinctes. Supposons-la formée d'une horizontale Ox et d'une verticale descendante OU. Nous avons vu que Téquation du mouve- ment peut s'écrire
dt^ ~ ^
il
Si la chaîne est tout entière sur la partie horizontale Oxy son mouve-
Fi g. 19.5.
A M
rirriiiliiiLi illlll ...!!.■ ILimmi:
O
tt/
ment sera uniforme puisque Ton aura conséquent.
dt^
zi-zo=o{yi^, 195), et, par
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTEMES. 5l
Si l'une des extrémités de la chaîne a déjà dépassé le point O et en est à
une distance OB = a, on a, en comptant 7 à partir de O dans le sens
AOB,
^0=0, Zi — — a, <j = u — /,
et, par conséquent,
d^u g
= — - IL '
le point B se déplace donc comme s'il était repoussé par O proportionnel- lement à la distance. Cette dernière équation n'est valable que tant que  est supporté par la partie horizontale; lorsque A aura atteint 0,1a chaîne tombera librement d'un mouvement uniformément accéléré.
Calcul de la tension, — Considérons une portion A/w de la chaîne terminée au point m tel que arc M m = X, on peut considérer le système qu'elle constitue comme se déplaçant sous l'action des poids de ses divers éléments, des réactions de la courbe et de la tension T au point m comptée positivement dans le sens AB (\o\v Jig, 194).
Si l'on applique le théorème des forces vives au mouvement de cette portion de chaîne A m, on trouve
en évaluant les travaux des poids comme précédemment, remarquant que le travail de T est Te/7, et appelant z' l'ordonnée du point m.
Divisons par dt et effectuons les différentiations, il vient, après suppres- sion du facteur -j-f
at
Remplaçons -^ par sa valeur, nous aurons, tous calculs faits,
T-M[2/<p(a-^X)-(/-:-X)cp(Œ-t-/)-(/-X)©((I-/)J.
Si Ton applique cette formule au cas de l'hélice, on voit immédiatement que T est toujours nul; par conséquent, chacun des points de la chaîne se déplace comme s'il était isolé. Il peut se faire qu'on trouve pour T une valeur négative; dans ce cas, la chaîne se replierait sur elle-même, car un élément ôX subirait une pression et non une tension. Pour que le mouve- ment fût réalisable dans tous les cas, il faudrait supposer la chaîne formée par une sorte de chapelet de petites sphères enfilées sur un fil flexible et ;:lissant dans un tube de même rayon. Alors, si T est positif en un point, le fil y est tendu; si T est négatif, les sphères contiguës pressent l'une sur
0;i DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
Tautre. On vérifiera que, dans le cas de la cycloïde, il y a toujours com- pression.
348. Mouvement d'une vis mobile sans frottement dans un écrou fixe. Dans ce mouvement tous les points du solide mobile décrivent
Mes hélices de même pas h, et avancent, parallèlement à Taxe, de — 0
21:
quand la vis tourne de l'angle 6.
Le système étant à liaisons complètes, le théorème des forces vives nous donnera le mouvement.
Prenons ra\c de la vis pour axe des z. Le système constitué par lavis c«t soumis à des forces données Fi, Fj. . . . , F;, et aux réactions de l'écrou, qui sont partout normales à la surface de la vis puisqu'il n'y a pas de frottement.
Soient r, 6, js les coordonnées semi-polaires d'un point quelconque du système et ^0 sa cote, quand l'angle 0 est nul : les coordonnées cartésiennes (le ce point sont à un instant quelconque
a; — rcosO, y = r sinO, z = Zq-\ 6
27:
la vitesse de ce point a donc pour projections
dx . ^dO dy «û^O dz h d^
dt dt dt dt di 27: di
quantités que nous écrirons, en introduisant la vitesse angulaire m — -^^
dx dy dz h
dt -^^ dt ' dt 'iTz '
on a donc pour le carré de la vitesse , ldx\^ idyY /dzy- ,/' , /i« \ ,, A«
Multipliant par m et faisant la somme pour tous les points du corps, nous aurons pour expression de la force vive totale
jhd 4 7:1 ^ '
c'ost-à-dirc, en désignant par k le rayon de gyration et par M la marsse,
L'équation des forces vives est ainsi
tlt\_i \ 4rV J jmâ\ (il dt dt J
CHAPITRE XVIIl. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 53
le signe S se rapportant aux forces données Fj, . . ., F^, car les travaux
des réactions sont nuls. En remplaçant dans le second membre — r » -r- > -r-
* ^ dt dt dt
par les valeurs trouvées plus haut, ce second membre devient
o.[s(xy-rX)+A2z];
mais S(a?Y — ^X) est la somme des moments des forces données par rapport à O^; c'est donc la projection N sur cet axe du couple résultant de la réduction des forces données à l'origine; quant à £Z, c'est la pro- jection % de la résultante générale sur le même axe. L'équation des forces vives peut donc s'écrire
d
<'> dt
•2 \ 47rV J \ 271 /'
en effectuant la diiïérentiation, cette équation prendra la forme
/ m. /i« ^** \ ^w _, h ^
\ 4 ~'/ dt iT.
Si les forces extérieures F satisfont à la relation
l'équation ci-dessus donne
N ^ A i, ^ o, 2 7:
diù
et le mouvement est uniforme.
Dans le cas général, les forces peuvent être réduites à un ^orstfar, c'est- à-dire à une force AR et à un couple ÂG dirigé suivant la même dorite;
p
R est l'intensité et /> = — la flèche de ce torseur. Désignons par 8 la plus
courte distance des droites R et O^, et par a leur angle, nous aurons, en effectuant la réduction à l'origine,
^=Rcosa, N — Gcosa ^ Ro sina,
puisque N doit être la somme des moments par rapport à O^ de la force R
et des deux forces qui constituent le couple G.
Le mouvement de la vis se réduit à une translation et à une rotation
dirigées suivant O^, et forme ce qu'on peut appeler, avec Bail, une torsion
I,
dont l'intensité serait co, et la flèche />'= — • Avec ces notations, l'équa-
27r
tion des forces vives prise sous la forme (i) devient
é/- M (A:'-+-7— j ] w« r= Ra)[(/?-h/>')cosa-i-8sinaJ</^
54 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
On voit donc que l'expression de la somme des travaux élémentaires des forces données est symétrique par rapport au torseur et à la torsion.
349. Application au problème des trois corps. — Nous appliquerons les théorèmes généraux au problème suivant : Trouver le mouvement de trois points matériels entièrement libres, s'attirant suivant la loi de Newton.
Désignons par ru, /'jj, r^ les distances respectives des points Mi, M],
M3 donnés. Les actions mutuelles de ces points ont respectivement pour
valeurs
— //w,/7i2 — //njm, — /mj/n,
y -
îî ^tz ''31
Comme le système n'est soumis à aucune force extérieure, le mouvement de son centre de gravité est rectiligne et uniforme, ce qui donne trois équations fînies du mouvement. Pour la même raison, on peut appliquer le théorème des aires par rapport aux trois plans coordonnés, ce qui donne trois intégrales premières. On peut enfin en obtenir une dernière par le théorème des forces vives. La force vive totale du système est en effet
mipf H- miv\ H- m^\\ ;
d'autre part, la somme des travaux élémentaires des actions mutuelles est, d'après ce que nous avons vu,
yt — ^'^n jï — ^' î» yt — ^'^«ï •
' lî ' Î8 '81
c'est la différentielle exacte de
/•il r^z /-ai '
on est donc dans le cas d'une fonction de forces, el l'on a
nixv] — m^v\ ^ m^vl f fm^m^ fmtm^ fmvim^\
\- -\ I
^11 ''« /'SI /
A,
Bruns a démontré {Acla mathematica, t. XI) que les intégrales ainsi obtenues sont les seules qui soient algébriques par rapport aux coordon- nées des corps et à leurs dérivées premières; M. Poincaré (ibid., t. XIII) a établi que le problème des trois corps ne comporte, en dehors des intégrales ci-dessus, aucune intégrale analytique et uniforme. Enfin, M. Painlcvé (Mémoire couronné, Comptes rendus, 17 décembre 1894) a démontré qu'il ne peut pas exister d'autre intégrale qui soit algébrique seulement par rapport aux dérivées premières.
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 55
3^. Théorème des forces vives dans le mouvement relatif autour du centre de gravité. — Le théorème des forces vives vient d'être établi pour le mouvement absolu d'un système, il est encore vrai pour le mouvement relatif par rapport à des axes animés d'une translation rectiligne uniforme. Mais on ne peut pas, sans modifications, l'appliquer au mouvement relatif par rapport à des axes animés d'un mouvement quelconque. Il existe cependant un système d'axes mobiles particulier par rapport auquel le théorème subsiste sans modifications dans l'énoncé : c'est un système d'axes de directions fixes passant par le centre de gravité. On a ainsi le théorème suivant :
De même que le théorème des moments de quantités de mouvement, le théorème des Jorces vives s^ applique au mouve- ment relatif du système par rapport à des axes de directions fixes passant par le centre de gravité.
Comme dans le théorème que nous venons de rappeler, nous désignerons par Ç, t^, Ç les coordonnées du centre de gravité, et par x' ^ y y z' les nouvelles coordonnées du point :r, j^, 2, par rapport à des axes Gtx'^ Gy, G 5', parallèles aux axes fixes et menés par le centre de gravité G.
Les formules de transformation
a-i^y-hj, ^=y-^-T„ Z'-Z'r-Hi
nous donnent pour le carré de la vitesse absolue du point m
/fix'-^-d^y /dy'-t-drtY /<iz'-^d^Y = \~dr') ^[^~dt ) "^ l dt )
-m' -m -m -m -m' -m
idx' d^ idy' dr\ idz' dX^ ~^ '~dt~ 'dt ~^ dt "dt ' dt dl '
ou, en désignant par V la vitesse du centre de gravité, et par v' la vitesse relative du point M,
dt dt dt dt dt dt *
multiplions cetle équation par m et ajoutons membre à membre
56 DYNAMIQIE DES SYSTÈMES.
toutes les équations analogues, nous aurons
les coefficients de -/-* -J' > -^ sont nuls en vertu des conditions
de dt dt
qui expriment que l'origine des axes mobiles est le centre de gra- vité. Nous arrivons ainsi à l'équation
ce qui démontre le théorème suivant :
Théorème de Koenig. • — La force vive d'un système est égale â la force vue qu^ aurait la masse totale concentrée au centre de graiité, augmentée de la force vive du système dans le mouvement relatif par rapport à des axes de directions fixes menés par le centre de gravité.
Transformons de même Texpression de la somme des travaux élémentaires des forces appliquées au système, nous avons
Str = Slt X,</x ^ \idy -^ 7.idz ^ ^ Z^iXedx — \\dy — Z^dz )
-^ d\ j 12X, -. LSX^ ; - dy, ; ZS Y,-r- S2 Y^ ; ^ rf; ; SSZ, -4- SSZe j.
Or, les sommes SSX,, SDY,, STZ, sont nulles en vertu du prin- cipe de Tégalité do Faction et de la réaction : puis on a
d-^ -cl;v:v\^ f/r. SZY,- c/rSSZ,.
équation que Ton obtient en eflectuant la combinaison des forces vives 5ur les équations du mouvement du centre de gravité. Il nous n^ste alors
Revenant à Téquation dos forces vive
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 5y
et remplaçant les deux membres par les valeurs que nous venons de trouver, nous arrivons à Téquation
Cette équation est composée avec les vitesses et les déplacements relatifs, comme l'équation des forces vives avec les vitesses et les déplacements absolus. Le théorème est donc démontré.
La somme des travaux élémentaires des forces intérieures ne dépendant que des variations des dislances mutuelles des points est, dans les deux équations, égale à Y¥ j^kdrj^k] mais la somme des travaux des forces extérieures n'est pas la même dans les deux équations.
Cela résulte aussi du calcul précédent, car on a trouvé
ce qui prouve que les sommes des travaux élémentaires des forces intérieures sont les mêmes dans le déplacement absolu et le dé- placement relatif par rapport aux axes considérés; tandis qu'on a trouvé
SS(X^f/:r-+- M^dy ^Z^dz) -- l.I.{Xedx'-r- Y^df-^Z^dz )
ce qui montre que les sommes des travaux des forces extérieures ne sont pas les mêmes dans les deux déplacements.
Ainsi lorsque certains corps du système sont assujettis à des liaisons sans frottement avec des corps /ixes, les forces de liaison correspondantes sont extérieures au sj'stème : leurs travaux élé- mentaires sont nuls dans le déplacement absolu; ils ne le sont pas nécessairement dans le déplacement relatif par rapport aux axes Gx^y^ z' {voir, dans les exemples suivants, l'exemple III).
351. Exemple I. — Système pesant dans le vide. — Quand on lance dans le vide un système pesant quelconque libre, le centre de gravité du système décrit une parabole. Menons, par le centre de gravité, des axes de directions fixes, G^' étant la verticale ascendante : le théorème des forces vives s'applique au mouvement relatif du système par rapport à ces axes. Les seules forces extérieures étant les poids, les projections du
58 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
poids d'un point m sur les axes mobiles sont o, o, — m g. On a donc
Mais, Torigine étant le centre de gravité, les sommes ZmV, I,mdz' sont nulles; donc
d — - — --■= 2^rj,kdrj^k^
La force vive dans le mouvement relatif par rapport au\ axes Ga?', Oy\ Gz' ne varie donc que par Faction des forces intérieures. Si le système est un corps solide, la force vive relative est constante.
Exemple II. — Étudier le mouvement de deux points pesants A e^ B de même masse m attachés Vun à Vauti e par un fil élastique sans masse et lancés dans le vide. — La longueur naturelle du fil étant a/, on admet que, quand il est allongé jusqu'à la longueur 2r, sa tension T est proportionnelle à son allongement 2(r — /)
T - mk^ir- /).
Le fil étant tendu à une longueur 2^0 >- il, les deux points sont lancés dans le vide.
i" Le centre de gravité G du milieu de AB décrit une parabole comme un point pesant.
2° Dans le mouvement relatif par rapport à des axes Gx\ y\ z' de directions fixes menés par G, le moment résultant Gv' des quantités de mouvement relatives par rapport au point G est constant en grandeur, direction et sens (p.4o, exemple 5°): le théorème des aires s'applique à la projection du mouvement sur chacun des trois plans de coordonnées.
Si l'on appelle .r', y, z' les coordonnées relatives de A, celles de B seront — x\ — y\ — z\ et le théorème des aires s'exprime par les trois équations
/ dx' dz' ^
/ ,dy' ,dx'\ -
On en conclut
ce qui montre que la ligne AB reste dans un plan II de direction fixe passant par G : ce plan perpendiculaire à G ci' est, dans le mouvement relatif, le plan du maximum des aires. La position de ce plan est d'ailleurs indépendante des forces intérieures, c'est-à-dire de l'action mutuelle des deux points.
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 69
Prenons alors le plan II pour plan x'Gy et deux axes Gx', Gy' de directions fixes dans ce plan : appelons r et 0 les coordonnées polaires de A dans ce plan; celles de B seront r et 0 -i- 71. L'équation des aires donne
Appliquons l'équation des forces vives au mouvement relatif autour du centre de gravité. Les travaux élémentaires des poids seront nuls (exemple I); il suffit donc de tenir compte du travail des deux tensions du 61 sur les deux points A et B. Ces tensions jouent le rôle d'une attrac- tion mutuelle des deux points ayant pour valeur algébrique — mk*{r — /). Les deux points ont évidemment, par raison de symétrie, la même vitesse relative p' par rapport aux axes Gx', j/-' : on a donc
car la distance mutuelle des points est 2r. En intégrant, on a
ou enfin, en remplaçant v'^ par son expression en coordonnées polaires,
Ces deux équations (1) et (2) déterminent r et 0 en fonction de t. Si Ion veut la trajectoire relative d'un des points dans le plan n autour de G, il suffît d'éliminer dt entre ces deux équations : on a ainsi l'équa- tion différentielle de la trajectoire
(3) rf6^ -^^''
r/hr^—k^r^ir—l)^— G*
où il faut prendre -4- ou —, suivant que r varie ou non dans le même sens que 6.
La valeur initiale de r, /•o> / rend le polynôme sous le radical positif : comme ce polynôme est négatif pour r — o et r = oo, il est évident que r devra rester compris entre deux racines a et p, et pourra seulement varier de l'une à l'autre. D'après l'équation (i), 0 varie toujours dans le même sens et la courbe est analogue à celle que décrit la projection horizontale d'un pendule sphérique (n° 277, yî^. i68).
Mais il faut remarquer que nos formules supposent essentiellement que r reste supérieur à /; si /% à un moment donné, devenait égal, puis infé- rieur à /, le fil ne resterait pas tendu, la force T disparaîtrait comme si k devenait nul, les deux points pesants deviendraient indépendants et, à partir de ce moment, leurs trajectoires relatives dans le plan II, autour
6o
DYNAMIQUE DES SYSTéllES.
de G, deviendraient des segments de droites jusqu*au moment où, le fil se tendant de nouveau, la force T reparaîtrait. Dans ce cas, la trajectoire re- lative se composerait alternativement d*arcs de la courbe (3) quand r > /, et de segments de droites raccordant ces arcs quand r < /. Pour que ce cas se présente, il faut et il suffit que / soit compris entre les racines a et ^ du polynôme entre lesquelles varie r.
Exemple III. — Trouver le mouvement de deux points matériels pesants \ et ^ de même masse m, reliés l'un à l'autre par une tige rigide et sans masse de longueur il et assujettis à glisser sans frotte- ment, l'un A sur un axe vertical fixe Ox, l'autre B sur un €ixe horizontal fixe Oj^. — Les forces extérieures appliquées au système sont les poids mg des deux points et les réactions normales P et Q des deux axes (yî^. 196). Le système étant à liaisons complètes indépendantes du temps, il suffit d'appliquer le théorème des forces ^ives au mouvement absolu. Le centre de gravité G du système est au milieu de AB : la dis- tance OG == / et Tangle â;UG a une certaine valeur variable 6. Les coor-
Fi g. 196. 0 B
|
/ |
1/ |
||
|
A |
G ] |
[mg -y |
|
y m if
données de A et B, étant, pour A, x -- 9./cos6 et, pour B, y = 2/sin6, la
force vive du système est 4m h (-.-\ ; le travail élémentaire du poids
mg de A est mgdx ou — imglsin^ dQ; le travail du poids de B est nul. On a donc l'équation des forces vives
^ftim/^f^)*] -^-imglsinBdd. qui, par l'intégration, donne, après division par iml^y
(1)
/d^y_g \dt) - 1
{cosb -H h).
h désignant une constante. Cette équation est identique à réquaUon du mouvement d*un pendule simple de longueur /. Le mouTement est oscil- latoire ou révolutif suivant que h est coBnris entre — i et -h i on sapé- rieur à I.
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 6l
Remarque. — On peut aussi appliquer le théorème des forces vives au mouvement relatif autour de G. La force vive relative par rapport aux
a\es Ga/, y de directions fixes menés par G est iml^\^-j-\ ; la somme
des travaux élémentaires des deux poids de A et B est nulle dans le dé- placement relatif par rapport à ces axes; mais, par contre, les travaux des réactions normales F et Q dans ce déplacement relatif ne sont pas nuls, car les déplacements élémentaires relatifs des points A et B, pour un observateur attaché aux axes Qx', y\ sont des arcs de cercle décrits de G comme centre avec GA et GB comme rayons, et ces arcs ne sont pas perpendiculaires aux forces P et Q. On aura donc, en écrivant l'équation des forces juives dans le mouvement relatif par rapport aux axes Qfx' et Oy'^ une équation contenant P et Q. En remarquant que le point A a pour coordonnées par rapport à ces axes
(A) a7'=/cos0, y — — /sinô,
que le point B a pour coordonnées — x' et — y\ et que les forces P et Q
ont pour projections (o, P) et (Q, o), on a pour les travaux élémentaires
de ces forces
Fdy-^Çid(^x'\
et l'équation des forces vives cherchée est
^r^/t/^yi ^/(QsinO — PcosO)€fe.
Les réactions figurent dans cette équation, qui pourrait être employée avec une autre pour déterminer P et Q. Mais il sera plus simple de cal- culer P et Q directement en écrivant les équations du mouvement absolu du centre de gravité G projeté sur Ox çX Oy : on a ainsi les équations
2m^=^2m^^Q, ^^,n-^ = P,
où
Ç = /cosO, T) = /sinO.
En calculant les dérivées secondes de ^ et i) par rapport à / et rempla- -7- i et -rj par leurs valeurs tirées de (4) on aura P et Q en fonc- tion de 0. Les signes de P et Q donneront les sens de ces réactions, qui, sur la figure 196, ont le sens qu'elles auraient si elles étaient toutes deux positives.
IV. - ÉNERGIE.
352. Système conservatif. — Considérons un système dans lequel les forces intérieures (X/, Y/, Z|) dépendent uniquement
6l DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
des posilions des poinls et dérivent d'une fonction de forces Ui(X|,^'i, w|, Xa, j'2> ^2> • • •> ^n^ yn-, 5,/ ) que nous supposerons uniforme.
On a alors identiquement
S2( X, dx-\-\idy — Z, dz ) = ûfU,.
Ce fait a lieu en particulier quand l'action mutuelle de deux points quelconques du système dépend uniquement de leur distance (341).
Quand cette fonction U, existe, le système est dit conservaiif.
Un tel système est caractérisé par ce fait que, lorsqu'il passe d'une configuration \Q*\) à une configuration (,62), le travail total des forces intérieures est indépendant de la façon dont on amène le système de la première configuration à la dernière.
En effet, si U/ existe, la somme des travaux des forces inté- rieures, d'une confioruration à Tautre, est
r/= r * i.z^\idx--\idf^Zidz^= f * dVi=^Vi),—^Vi)iy
^L/)i et \^Vi)^ étant les valeurs de la fonction U/ correspondant aux deux configurations. Le travail tsi ne dépend donc que des configurations initiale et finale ^C| ) et (C^ >.
Réciproquement, si le travail des forces intérieures ne dépend que de la configuration initiale et de la configuration finale, le système est conservait/, la fonction U/ existe. En eflet, prenons une configuration initiale fixe ^Co j et soit ^C) une configuration quelconque : par hypothèse, le travail (?/ des forces intérieures, quand le système passe de ^Co) à ^C), ne dépend que de (Cq) et ^C . Le travail Ç, varie seulement avec le choix d*une configu- ration finale i^C . : il est une fonction des coordonnées j:,,^,, ^,,
J^i? .>'*' ^« -Ti,, y„^ Zi, des points du système dans cette
configuration :
/|. y .^, W|g
Si Ton fait passer le système de U position , C à une con- figuration infiniment voisine concftuondant aux coordonnées X, -r- itx^ ? ^1 — </>"•! • . . » 4 tT«il ç,- des forces inté-
CHAPITRE XVIIl. — MOUVEMKNT DES SYSTÈMES. 03
rîeures augmente de la quantité
d(^i rr-. V V ( x^ dx -+- Y/ dx H- Z/ dz) ;
donc la somme des travaux élémentaires des forces intérieures est une différentielle totale exacte d'une fonction G/ des coordonnées. Le système est conservatif.
353. Énergie potentielle. Sigpûflcation mécanique. — La fonction des coordonnées U{Xiyi, z^, Xo. • • ^^n^yn^ ^n) = — U/-i- consl. s'appelle énergie potentielle du système. Cette fonction n'est donc définie qu'à une constante près. Nous supposerons la constante choisie de façon que l'énergie potentielle II s'annule dans une posi- tion déterminée (Cq). Alors la valeur U de ^ énergie potentielle du système, dans une configuration quelconque (Cj, est égale à la somme des travaux des forces intérieures quand le sys- tème passe de la configuration actuelle (C) à la configuration spéciale {Caq) dans laquelle II est nulle.
En effet, pour un déplacement infiniment petit du système, la somme e/t^/des travaux élémentaires des forces intérieures est
D'où, en appelant (s/ le travail des forces intérieures de la position actuelle (C) à la position (Co),
[ é/n-^n — no=n,
(C)
car Do est supposé nul; ce qui démontre la proposition.
Le choix de la configuration spéciale (Cq). pour laquelle on convient de regarder l'énergie potentielle comme nulle, est arbi- traire. Quand, parmi toutes les configurations possibles du système, il en est une qui rend U/ maximum, et par suite
n — — U/-i-const.
minimum, on choisit ordinairement cette configuration spéciale pour la configuration (Cq)) dans laquelle U s'annule. Alors, pour toutes les autres configurations, II est positif. Dans ce cas. In configuration (Cq), correspondant à un maximum de la fonction des forces U/, est une position d'équilibre stable du système
6^ DT^AIIIQCE DES STSTÈMES.
supposé soamiâ aDÎquement aux forces iolérieures. Cela résulte d*uD théorème que nous démontrerons plus loin et que doqs admettons ici.
Si Ui admet plusieurs maxime, on choisit ponr • C« > la configu- ration qui donne le plus grand maximum.
35 i. Conserration de l'énergie. — D*après ces notations, le ' théorème des forces vives s'écrit « n" 339 >. en remplaçant
par sa valeur dllg ou — dU.
(\. d[ ^ I ^ SS'X^^x — \^dj—Zgds .
Le premier membre '^ — -r- U est V énergie totale du système.
f^s deux termes qui le composent sont de nature différente : le
premier ----- dépend seulement des vitesses des différents points
et non de leurs positions : on Tappelle énergie cinétique ou actuelle du système ; le second II dépend uniquement de la posi- tion du système et non des vitesses : c'est Vénergie potentielle.
L'équation ci-dessus s'énonce ainsi : la variation infiniment petite de Vénergie totale est égale à la somme des tras^aux élémentaires des Jorces extérieures.
Si Ton intègre les deux membres de l'équation (i) d'un instant /i à un instant /, on a
(■».)
( -_" * r- II ) - f ^ -^ II ) = / 2S( \,dx - \,dy ~ Zerfz),
que nous écrirons
La variation de Vénergie, dans un intervalle de temps fini, est donc égale à la somme des travaux des forces extérieures pendant cet intervalle.
Va\ particulier, si Ir système rHest sollicité par aucune force extérieure, son énergir reste constante
- t-II- II . 6— ^Ll:
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 65
c'est là le principe de la conservation de Vénergie, Ainsi, quand
le système se déplace, sans qu^aucune force extérieure agisse,
l'énergie cinétique et l'énergie potentielle varient, mais leur
somme reste constante. Ces deux sortes d'énergie, quoique de
nature difTérenle. se transforment l'une dans l'autre.
Remarque, — Supposons qu'on prenne pour unité de travail le kilo gra m mètre, l'énergie potentielle étant un travail (353) sera exprimée par un certain nombre de kilogrammètres; l'énergie
cinétique est aussi exprimée par un nombre qui représente
des kilogrammètres (n° 34o i.
L'énergie totale est donc un certain nombre de kilogrammètres.
3oo. Signification mécanique de l'énergie totale. — - Soit Cs l'énergie du système à un instaht ty\ si aucune force extérieure n'agissait sur le système, il conserverait indéfiniment cette énergie ^i . Faisons agir sur lui des forces extérieures (X^, Y^., Ze), de façon à le faire passer de l'état actuel à l'état final, où son énergie C est nulle, La formule (2) nous donnera
Donc Vénergie totale du système est égale et de signe con- traire au travail des forces extérieures, quHl faudrait faire agir sur le système, pour le ramener de Vétat actuel à Vétat spécial pour lequel Vénergie totale est nulle,
Cel élîit spécial est l'immobilité (r = ())dans la position spé- ciale (Co) où n est nul.
Coninie ^1 est positif, le travail G<. des forces extérieures nécessaires pour réaliser la transformation demandée esinégatij, c'est-à-dire que le système fournit alors du travail aux corps extérieurs. Pour préciser ce point, tirons tout d'abord une con- sé(|urnce immédiate de l'équation (2).
Supposons que le système n^agit mécaniquement au dehors que par des corps solides en contact avec lui par les mêmes points ou liés à lui par des liens rigides. Alors les forces exté- ri(;ures appliquées au système sont les actions (X^, Y^, Tj^) de ces corps solides sur lui; évidemment le système réagit sur les corps solides extérieurs et exerce sur eux des actions ( — X^,, -Y^, — Z^) A., 11. 5
6() DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
égales el opposées. Par exemple, si un corps solide (A) i^fig. '97^ est en contact avec le système (S) en M, il exerce sur le sys- tème une force extérieure F^ : inversement, le système exerce
l'^ig- '97-
^ur le corps une action F'^ égale et opposée. Quand le système se déplace, les deux forces égales et opposées, F<.etF^, appliquées à des points matériels placés en M et subissant le même dépla- cement, produisent des travaux égaux et de signes contraires. Donc la somme ^e des travaux de toutes les forces extérieures appliquées au système est alors égale et de signe contraire à la somme ^^ ^^^ travaux des actions exercées par le système sur les corps solides en contact avec lui
Le travail G^ des actions exercées par le système sur les corps (»Ktérieurs en contact est le travail extérieur />rorfwi7 ou accompli parle système, travail qui peut d'ailleurs être positif ou négatif.
En considérant le mouvement du système de Tinstant t% à l'ins- tant ^, nous avons trouvé que la variation C — C^ de l'énergie est rgale à la somme Gi^des travaux des forces extérieures. On a donc aussi
Donc, si le système nagit mécaniquement au dehors que par des corps solides en contact avec lui ou reliés à lui par des liens rigides, V énergie perdue est égale au travail produit par le système sur les corps extérieurs.
En particulier, sii|)posons que le système passe de l'état actuel, où son énergie totale est C|, à cet élal final particulier où soii «îiiergie totale C est nulle, c'est-à-dire où le système est immobile dans la conliguration spéciale (Co» pour laquelle 11 est nulle. Alors
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTEMES. 67
Téquation devient
^. - K-
L'énergie que possède le système est donc égale au travail exté- rieur qu'il peut fournir de la manière indiquée, quand il passe à
l'état dans lequel son énergie est nulle. Comme l'énergie h II
est essentiellement positive et a pour minimum zéro, le travail extérieur fourni ainsi par le système, quand il passe de l'état actuel à l'état spécial où son énergie est nulle, est le plus grand qu'il puisse fournir.
D'après cela on peut énoncer les propositions suivantes que nous empruntons à un article de M. Maurice Lévy Sur le principe de /'^/lerg^/e (Gauthier-Villars, 1888) :
L^éaergie totale d^un système à un instant quelconque est le travail utile maximum qu^il est possible de se procurer en utilisant les vitesses acquises et les forces intérieures du sys- tème.
Dans cet énoncé on suppose, bien entendu, que le minimum de n est zt^ro, comme nous l'avons expliqué plus haut.
L! énergie cinétique du système à un instant est le travail utile maximum qu^ il est possible de se procurer en n^ utilisant que les vitesses acquises à cet instant par les différents points f lu système, sans utiliser aucune des forces intérieures qui le sollicitent.
V énergie potentielle à un instant est le travail utile maxi- mum quHl est possible de se procurer en n^ utilisant que les Jorces intérieures du système, sans utiliser les vitesses acquises par ses points.
Lorsque des forces extérieures agissent sur un système, on dit qu'elles sont motrices quand elles tendent à accroître son énergie, et résistantes quand elles tendent à la diminuer.
356. Exemples. — i* Points matériels s* attirant proportionnelle- ment à la distance. Soit un système formé de deux, points libres m et m' s'attirant proportionnellement à leur distance r. Leur action mutuelle est — \Lr où [A > o, et le travail de cette action mutuelle est
~^rdr = di^- ^y
C8 DYNAMIQUE DES SYSTéXES.
rxr*
On a doDC actuellement U/ — — - -• Celte fonction est toujours néga- tive, excepte pour r — o où elle est nulle, et, par suite, maximum. Noas prendrons alors
n - ' - •
Cette énergie potentielle est toujours positive, excepté quand r = o. La configuration spéciale (Co) est donc ici celle qui consiste à mettre l«s deux points en contact. L'énergie cinétique est
vi l'énergie totale
mv^-h- m' v'^
'X
V.. = h
Supposons qu'à l'instant / ~ o les deux points soient immobiles et en rontact : alors Co ~~- o. Cet état persiste indéfiniment si aucune force exté- rieure n'agit. Prenons chaque point dans une main et séparons-les à une distance Tf, où nous les maintiendrons immobiles : il faut pour cela
dépenser un certain travail G'; l'énergie potentielle devient ^-— î-, Ténergie
cinétique sera nulle, et l'accroisscmeni -- de l'énergie totale est égal
au travail extérieur dépensé. Puis, lançons les points avec des vitesses initiales V\ et v\ ; il faut pour cela dépenser un certain travail €', l'énergie
potentielle est restée • — -» I énergie cinétique est devenue i-;
l enerf^ie totale a augmenit» de la quantité — ^» égale au travail
dépensé (î\ Si ensuite le système est abandonné à lui-même, on aura constamment
//ir--+- //l'i'- ix/'- mv\--m'v\'^ xxr} ^, ^. '}. y ■>. 'X
l/éncr«»io totale restera constante cl ne pourra changer que si une force extérieure a^it. 0\\ pourrait utiliser cette ênerjïic totale en faisant pro- ilitire w\\ *:ysicnie un travail extérieur jusqu'au moment où, les deux points «'tant di' nouveau en contact et immobiles, rénergio serait devenue nulle. Le travail (|ue le s\stème peut aiu'^i f«)urntr est é;;al à son énergie, c'est- a-dire au traxail T' C qu'on a dépensé au tlébul pour lui communiquer '»«»n éner;;i<\
>■' Vi'iuluU'. ('.<wi>i<lért)n'^ le SNStèmi' formé par la Terre supposée immobile cl nu |MMidule >im|»b* île nia^'^e m. Vppelon* z la hauteur du pen- dule au ile^>us du point l«' plu*» ba*» V «le la ci i conférence qu'il décrit. Les
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 69
forces intérieures au système formé par la Terre et le pendule sont l'at- traction mg de la Terre sur le pendule et une force égale et contraire appliquée au centre de la Terre. Si le pendule monte de dz^ le travail de
Fig. 198.
Fattraction m^ est — mg dz^ celui de la force appliquée au centre de la Terre est nul, car ce point est immobile. La somme des travaux élémen- taires des forces intérieures est donc
— mg dz -• — d{ mgz 1. On a
l)| — — mgz, et nous prendrons
n — m^gz ;
de cette façon n est positif pour toutes les positions du pendule et nul pour la position A qui est une position d'équilibre stable. Si l'on suppose d'abord le pendule immobile dans cette position, l'énergie totale est nulle. Si on le relève ensuite à une hauteur Zx^ on dépense un certain travail extérieur G'; puis, si on le lance avec une vitesse ^i, on. dépense un tra- vail fù. Le système étant ensuite abandonné à lui-même sans qu'aucune force extérieure n'agisse, son énergie
t — ~ ffigz — -î- mgzi — 5 -^ Ç)
reste constante. On peut utiliser cette énergie pour produire un travail extérieur C'h- G', en ramenant le pendule dans sa position d'équilibre avec une vitesse nulle.
3° Oscillation d'une lame élastique. — Soit une lame élastique dont l'extrémité A est serrée dans un étau fixe. Si aucune force extérieure n'agit sur le système, la lame occupe la position d'équilibre stable AB. Nous prendrons cette position pour la configuration spéciale dans laquelle n est nul; en outre, la barre étant immobile dans cette position, l'énergie actuelle est nulle également.
Prenons l'extrémité B dans la main et ployons la barre pour l'amener dans la position AB', où nous la maintiendrons immobile. Il faut pour cela que la pression de la main produise un certain travail : l'énergie poten- tielle qui était nulle a pris, dans la position AB', une valeur IIi égale au travail dépensé. Si maintenant on abandonne la lame à elle-même, elle^se
70 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
met en mouvement; à mesure qu'elle s*approche de la position d'équilibre AB son énergie potentielle diminue, mais son énergie cinétique augmente, de façon que Ténergie totale reste constante et égale à II|. Quand la lame repasse par la position AB, Fénergie potentielle est nulle, mais Ténergie
cinétique est alors maximum et égale à Tli; la lame dépassant la position AB, Ténergic potentielle augmente et Ténergie cinétique diminue jusqu'à la position AB' symétrique de AB' où Fénergie cinétique redevient nulle, ...» et ainsi de suite.
Une fois le ressort amené en AB' par Faction de la main, on pourrait évidemment lui faire produire un travail extérieur en le laissant revenir à sa position d'équilibre : par exemple, on pourrait l'employer à soulever un poids.
4" Horloge, — Signalons encore les exemples simples suivants :
Kn remontant une horloge à poids on accroît l'énergie potentielle du système formé par Fhorloge et la Terre : en poussant ensuite le balancier on accroît, au premier instant, Fénergie cinétique qui était nulle. L'énerpfîe totale ainsi communiquée s'use peu à peu : elle est employée à vaincre les résistances passives et quand, le poids étant redescendu, l'horloge s'arrête, Fénergie communiquée a été entièrement dépensée.
I)e même, en remontant une horloge à ressort, on dépense un certain travail (|ui accroît Fénergie potentielle du système : cette énergie est (MiHuite employée à vaincre les résistances passives.
\\\M. Un système sur lequel agissent des forces intérieures dépen- (Uni seulement des positions des points est nécessairement oonser- VAtif. On peut démontrer cette proposition si l'on admet comme évident \\\\\\ mt impf>ssible de créer du travail sans aucune dépense. En effet, soit un «v«tème sur lequel agissent des forces intérieures fonctions de la seule p«t«it ion. Amenons-le d'une configuration ( Co ,) à une configuration ( C) par uuf» »Milr de positions intermédiaires dont nous appellerons Fensemble ( P), \»ii «iupp(}<iiint que le système parte sans vitesse; de ( Co ) et arrive sans vitesse ow ^tî^. h'iipi'i^H le théorème général des forces vives (){39), la variation d\» f\nco vive étant nulle, la somme des travaux des forces tant intérieures v|uV\l«M-îi«ures est nulle :
G/ -h ÎTe - o,
\'tt .«iL^^H^ltiut Ç/ le travail des forces intérieures, Ç^ celui des forces exté- i«c««vv ^Mp|ioiiuns, pour fixer les idées, G/ négatif; alors C?(. est positif
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTEMES. 71
c'est-à>dire qu'il faut dépenser un certain travail extérieur pour réaliser le déplacement considéré.
Amenons ensuite le système de la même configuration (Cq) à la méme(C) par une autre suite de positions intermédiaires (P^^^)i le système partant et arrivant sans vitesse. Nous aurons encore, en appelant G/^^ et 6^*^ les travaux des forces intérieures et extérieures,
çn)^Gi»>=o.
Si le système revenait de (C) en (Co)par la suite des positions (P^*0> Iti travail des forces intérieures serait — ^/^\ car, les positions du système étant les mêmes, les forces intérieures seraient les mêmes, mais les dépla- cements seraient égaux et de sens contraires aux précédents. Donc on aurair aussi — Ç^*^ pour le travail des forces extérieures quand le système revient de ( C ) à ( Cq ) par la suite des positions ( P^^' ).
II est absurde de supposer (B^^^ différent de fEt. En effet, supposons par exemple 5J.*'<S4, alors Gi'->6c. bonc, en amenajit d'abord le système de (Co) à (G) par la suite des positions (P), on aurait à dépenser un tra- vail ^ei puis, en le laissant revenir de (C) à (Co) par la suite des positions (P^*')» les forces extérieures accompliraient un travail — ©c*\ c'est-à-dire que le système serait capable de produire à l'extérieur, sur des corps solides au contact, un travail ^^^^ supérieur à celui (r« qui a été dépensé. On aurait donc ramené le système dans son état initial et l'on aurait créé du travail. En recommençant la même opération, on arriverait à créer une quantité indéGnie de travail : ce qui doit être regardé comme impossible. Donc ^^y*^ = (si, quelle que soit la suite des positions par lesquelles on passe d'une configuration à l'autre, et le système est conservatif. Son énergie totale ne peut être modifiée que par des actions extérieures. On admet, en Physique mathématique, que les actions mutuelles des molécules ne dépendent que de leurs positions et même que de leurs distances : tous les systèmes de la nature doivent donc être conservatifs,
358. Des frottements et des résistances. — A première vue il semble, au contraire, que les systèmes matériels ne sont pas conservatifs. Par exemple, il semble que, pour la plupart des systèmes, le travail extérieur nécessaire pour faire passer le système sans vitesse apparente initiale et finale d'une configuration à une autre n'est pas le même que le travail restitué par le système quand il repasse de la deuxième à la première. Ainsi, si avec la main on comprime un ressort à boudin, et si la compres- sion dépasse une certaine limite, le ressort ne reviendra pas tout seul à sa position primitive; il ne restitue donc qu'une fraction du travail extérieur dépensé ; même pour le ramener à sa forme primitive, il faut ensuite exercer sur lui une traction, c'est-à-dire dépenser un nouveau travail.
Dans d'autres cas, un système en mouvement, sur lequel n'agit aucune force extérieure, finit par s'arrêter dans la position d'équilibre stable pour
7'2 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
laquelle II est nulle, de sorte que son énergie totale devient nulle en appi- rencc et ne parait pas rester constante. Tel serait le cas d*un pendule oscillant dans le vide : il finit par s'arrêter, quoique aucune force extérieure n'agisse sur le système formé par la Terre et le pendule.
D'après cela, il y a donc une perte apparente d'énergie; cette perte apparente est due, suivant les machines, aux frottements, à la viscosité des liquides, à l'élasticité imparfaite des solides, aux résistances provenant de l'induction électrique et de l'aimantation. Mais cette perte d'énergie est purement apparente, car, à côté des mouvements visibles dont s'occupe la Mécanique rationnelle, il existe des vibrations invisibles des molécules Jont l'étude est faite en Physique mathématique, et qui constituent la .chaleur, la lumière, l'électricité, etc.
Par exemple, tout frottement engendre de la chaleur, et l'expérience de Joule a montré que le rapport de Téncrgie disparue à la quantité de cha- leur produite est une constante. Cette constante se nomme ïéquivalent mécanique de la chaleur; elle est d'environ 4îi4*'*"i c'est-à-dire qu'une calorie peut produire un travail de 4îi4^''"'
Dans certains cas, les résistances, le manque d'élasticité, etc.. donnent naissance à de l'électricité, de la lumière, etc. Il faut alors concevoir le principe de la conservation de l'énergie de la façon suivante :
Dans un système isolé sur lequel n'agit aucune action extérieure ni mécanique, ni calori/ique, etc., Vénergie totale est invariable, à condition de comprendre dans l* énergie cinétique, non seulement celle due aux vitesses visibles des points du système, mais aussi celle qui provient des mouvements invisibles ou stationnaires pouvant être dus à la chaleur, aux courants électriques, peut^tre même au ma-- gnétisme ou à rélectricité statique; à condition aussi de com,prendre dans Vénergie potentielle non seulement Vénergie provenant des actions mécaniques sensibles que Von considère ordinairement en Mécanique, mais aussi celle qui peut être due aux tensions électriques, aux affinités chimiques, etc.
H)n général, il existe une certaine incertitude pour qualifier les énergies autres que celles d'origine mécanique et même pour certaines de celles-ci. Ainsi, selon la théorie cinétique des gaz, les molécules d'un gaz, même en repos apparent, sont douées de mouvements stationnaires très rapides, (i*où résultent des chocs répétés des molécules entre elles et sur les parois. Ce qui nous apparaît comme une pression statique serait le résultat de ces chocs. D'après cela, l'énergie due à la pression d'un gaz ne serait pas, dans son essence première, potentielle mais cinétique. De môme pour l'énergie d'un aimant on doit, si Ton admet la théorie d'Ampère, la regarder comme cinétique, et, si l'on admet la théorie de Maxwell, la regarder comme potentielle.
Cette incertitude où l'on est relativement à la qualité de certaines éner- gies n*a aucun inconvénient pratique, car, qu'une énergie soit potentielle ou cinétique, elle est toujours cxprinioe par un certain nombre de kilo-
CHAPITRE XVIII. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 73
grammètres et nous avons vu que ces deux espèces d'énergies peuvent se transformer Tune dans l'autre sans aucun gain ni perte. ( Voyez Maurice Lbvt, Sur le principe de V énergie. Gauthicr-Villars, 1888.)
Nous n'insisterons pas davantage sur ces considérations qui servent, en particulier, de fondement à la Théorie mécanique de la chaleur. Nous renverrons, pour plus de détails, au Mémoire de M. Maurice Lévy, au Mémoire de M. Helmholtz : Ueher die Erhaltung der Kraft (iS^y), réimprimé à Leipzig en 1889, à l'Ouvrage de MM. Tait et Thomson, aux Leçons synthétiques de Mécanique générale de M. Boussinesq, et à l'Ouvrage de M. Hirn intitulé La Cinétique moderne et le dynamisme de l*avenirj publié par l'Académie royale de Belgique. On pourra con- sulter aussi une suite d'articles de M. Duhem parus dans la Revue des Sciences pures et appliquées, en 1903, et le premier Volume du Traité de Chimie physique de M. Perrin (Gauthier-Villars, 1903).
EXERCICES.
1. Généralisation du théorème de Kœnig et du théorème des forces vives par rapport à des axes de directions fixes menés par le centre de gravité, — Soient Ox^ O^, O^ trois axes rectangulaires fixes auxquels on rapporte un système matériel quelconque; O'^r', O'^'.O'^' trois axes qui restent parallèles aux précédents, mais dont l'origine 0' est animée d'un mouvement indéterminé.
1. Pour que l'équation des forces vives s'upplique au mouvement relatif par rapport aux axes mobiles, il faut que les projections, sur la direction de Taccé- lération du point C, de la vitesse de 0' et de la vitesse absolue du centre de gravité soient égales.
II. La condition pour que la force vive du système soit égale à la force vive de toute la masse concentrée à l'origine mobile, augmentée de la force vive due au mouvement relatif par rapport aux axes mobiles, est que la vitesse de cette origine soit égale à la projection, sur sa direction, de la vitesse absolue du centre de gravité (Bonnet, Mémoires de l'Académie de Montpellier, section des Sciences, t. I. p. if\2).
Corollaire relatif au cas oit le système est un corps solide. — Si, à un instant quelconque du mouvement d'un solide, on décrit un cyhndre circulaire droit dont la génératrice est parallèle à l'axe instantané de rotation et de glisse- ment, et dont la section droite a pour diamètre la perpendiculaire abaissée du centre de gravité sur cet axe, tout point A pris sur cette surface cylindrique jouit de la propriété énoncée dans le théorème de Kœnig : la force vive du solide à l'instant considéré est la somme de la force vive qu'aurait la masse totale concentrée en A et de la force vive du corps dans son mouvement autour de A. Il n'y a pas d'autres points du solide jouissant de cette propriété ( Cauchy, Anciens Exercices, p. lo^, 1827; Bonnet, loc. cit.; Gilbert, Comptes rendus, t. CI, p. 1054 et ii4o).
2. Lorsqu'un système matériel quelconque, déformable ou non, se déplace, la somme des produits obtenus en multipliant la masse de chaque point par le carré de son déplacement est égale au produit de la masse totale du système par le
74 DYNAMIQUE DBS SYSTEMES.
carré de la projection du déplacement du centre de gravité sor une direction arbitraire AB, augmenté de la somme des produits obtenus en multipliaot la masse de chaque point par le carré du déplacement qu'il faut lui imprimer pour l'amener dans sa position finale après lui avoir fait subir, dans la direction AB, une translation égale i la projection du déplacement du centre de gravité sur cette direction ( Fouret, Bulletin de la Société mathématique, t. XIV, p. 142).
3. Quels sont les points A d'un solide S en mouvement qui partageât avec le centre de gravité la propriété suivante : Le moment de la quantité de mouTe- ment du corps S par rapport à une droite fixe O2, à un instant donné, est égal au moment de la quantité de mouvement de la masse totale supposée concentrée en A, augmenté du moment de la quantité de mouvement du solide par rapport «b une droite kz' parallèle à 0«, quand on considère le mouvement relatif par rapport à des axes de directions fixes qui se coupent en A? (Le lieu des points A est un hyperboloîdc). ( Dk Saint-Germain. Comptes rendus, t. CVII).
4. On considère le système formé par un corps solide animé d*un mouvement de translation rectiligne et uniforme de vitesse t* et par un point matériel de masse m d'abi^rd immobile. On suppose que ce corps heurte le point m et IVnlrafne a\ec lui sans changer de vitesse, ce qu'on peut réaliser en faisant -igir des forces extérieures; démontrer que rénergîe totale du système augmente de mt^. i Marcel Deprez.)
ô. Soit un svstème de deux points matériels libres s*attirant suivant une loi i^ttelct'^nque. Le théi^rèrae des aires s'applique à la projection du mouvement sur Tun des trois plans coi^rdonnès. Si. par le centre de gravité du système et la tan- gente à la trajectoire de chacun des points, on fait passer un plan, les deux plans rfinsî obtenus se coupent suivant une droite située dans le plan invariable (c*est- -*-Jire perpendiculaire à Gr', n* 3;W ^^Poinsot '. Jacobi a fait de cette propriété une application au problème des trois corps {Journal de Crelle. t. 26, p. ii5).
f. l*n dis^qoe circulaire homogène pt:>uvant glisser sans frottement sur an plan tfOrïroBtal âxe est mobile autour de son centre O: sur la circonférence de ce ^iî5«;ae sont placés deux insectes de même masse en deux points A et B diamé- iralement opfV'Ses. Les insectes étant immobiles, le disque est lancé autour de O *v<s: une vitesse angulaire initiale w,. Celte vitesse angulaire se conserve d'ellc- .iième Uni ^ut les insettes restent immobiles sur îe iisque. On demande cob- ment ^j^rie la v:ies>e an^ulairr du disque quand les deux insectes, restant diamé- trileweni v»prH>*es. se niellent à pircourir la circonférence â l'instanî t ■= o avec «ne *îtesse reî^ti^c %• nariant prv^pv^rtivnnoîlemenî au temps r — yf .
T. ^^^ni^naes: d'une chaine pesante n.'.n hem. jrfif glissant sans frc4temeflt sur •»e c.urbe â\e. On optTera ."omme dans le texte n' .-(7 en supposant la àtm- Ni:e i / V . V JeM^nact la distance curviligne d'un point de U ckalae an naihev. CjiicuVer !a tension.
Fa apr^Ian: ^ U masse tot^!c, on tn^uve !'e^^ nation
M * * - - / • \ ;; r 'i .A,
.<• «
.a c ^ . 5 ' e>: '.a r(*.4::or. f&:re > ^ et *'«r. s .; .;& f^.:&: c< ia courbe. Si la
CHAPITRE XVIII. — MOUVEUBNT DES SYSTEMES. "jS
8. Mouvement de deux points libres qui s'attirent proportionnellement à leurs distances.
9. Un point matériel est assujetti à glisser sans frottement sur un axe Ox; un second point matériel est entièrement libre. Trouver le mouvement du système en supposant que les deux points s'attirent proportionnellement à la distance, et calculer la réaction de l'axe Ox. (Il suffit d'écrire les équations du mouvement des deux points; on est ramené à des intégrations faciles.)
10. Deux points matériels M et M' de même masse m mobiles dans un plan horizontal sont reliés l'un à l'autre par un fil inextensible et sans masse de lon- gueur 2/. Le point M est attiré par un point fixe A et le point M' par un point fixe A' proportionnellement à la distance. Trouver le mouvement de ce système. On prendra pour axe des x la droite A' A et pour origine le milieu de A' A; on désignera par aa la distance A' A, par ^, t\ les coordonnées du milieu G de la
droite MM', par 0 l'angle que fait la droite GM avec Ox^ enfin par [jl/zi AM, (imA'M' les valeurs absolues des attractions issues de A et A'. ( Licence, Paris.)
11. Deux points matériels M et M, de masses m et m, reliés par un fil inexten- sible et sans masse de longueur / sont assujettis à glisser sans frottement sur un plan horizontal XOY. Ces points sont sollicités par des forces F et F^ dirigées vers OY perpendiculairement à cet axe, proportionnelles aux masses des points et à leurs distances à cet axe. Trouver le mouvement du système.
E)n désignant par x et j?, les abscisses des deux points, on appellera — k^mx et — Ar*m,j7, les projections des forces F et F, sur l'axe OX. On désignera par Ç et ti les coordonnées du centre de gravité G du système et par 0 l'angle de MjM avec OX. (Licence, Paris.)
12. Deux points matériels de même masse glissent sans frottement l'un sur l'axe OXf l'autre sur Taxe perpendiculaire Oy. Ces points s'attirent en raison inverse du carré de leur distance. Trouver leur mouvement; trouver en particu- lier la courbe décrite par le centre de gravité des deux points. (Conique de foyer O décrite suivant la loi des aires). (Licence, Paris.)
13. Deux points de même masse reliés par un fil inextensible et sans masse glissent sans frottement l'un sur un axe horizontal Ox, l'autre sur un axe vertical Oy. Mouvement du système. (Dorna, Mémoires de l* Académie de Turin^ t. XXXI.)
14. Mouvement de trois points assujettis à décrire une même droite fixe et à s'attirer proportionnellement aux masses et en raison inverse du cube des dis- tances. (Jacobi, Gesammelte Werke, t. IV, p. 533-539.)
15. Même problème, quand on suppose en outre chaque point attiré par un rentre fixe proportionnellement à la distance.
(M. Mestschersky a montré que ce problème se ramène au précédent par un changement de variables effectué sur le temps et les coordonnées. Voyez Bulletin des Sciences mathématiques, 1894, Mélanges.1
76 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
CHAPITRE XIX.
DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE. - MOUVEMENTS
PARALLÈLES A UN PLAN.
I. MOUVEMENT D*UN CORPS SOLIDE AUTOUR
D'UN AXE FIXE.
359. Équation du mouvement. — Un corps solide, mobile au- tour d'un axe fixe, constitue un système à liaisons complètes, car sa position dépend d'un seul paramètre, l'angle dont le corps a lourné à partir d'une position déterminée.
Si nous supposons que les liaisons sont réalisées sans frotte- ments, l'équation unique qui détermine le mouvement du corps sera fournie par le théorème des forces vives, car les travaux des forces de liaison sont alors nuls. Le corps est supposé sollicité par des forces données F, , F2, . . . , F,, ; nous appellerons X, Y, Z les projections d'une quelconque de ces forces sur les axes.
Prenons l'axe de rotation pour axe des 5, et soit o) la vitesse angulaire à l'instant ^, la force vive du système est
S mp» ~ 2 mr* m- - tu* 2 mr^ — M k^ w' ;
la force vive du corps est donc égale au carré de la vitesse angulaire, multiplié par le moment dUnertie par rapport à Vaxe de rotation.
Le théorème des forces vives s'exprime alors par l'équation
'2
--^(\dx-^ \dy-^Zdz),
où R'enlrent que les forces données. Si nous désignons par r, 8, z
les coordonnées semi-polaires d'un point x^y^ z du corps solide,
on a
X -rcos6, j^ — rsiiiO;
CHAPITRE XI\. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDK
quand le corps tourne, 6 seul varie, et Ton a
77
^e
CO --
|
^'" dl' |
|
|
dx — /'sinOrfO |
— ytùdty |
|
dy rcosO d^ |
XUi de y |
|
dz -- o; |
|
|
Fi g. 200. |
|
l'équation des forces vives devient alors
//MA-Noî
•2
ojdt^{T\~-yX),
qu'on peut écrire, en effectuant la dîfférentiation du premier membre,
dt ^ -^
On peut obtenir celle équation d'une autre façon, en partant du théorème des moments des quantités de mouvement. Appli- quons ce théorème par rapport à Oz : les moments des réactions de Taxe sont nuls, et il nous vient
il dt
2
dv
dt
d.r
~di
m\x-~-y-^) =2(^
y\).
mais
^'^^^'di'^^Tt) =2'^'''^^^ï^'^-
En substituant, on retrouve bien l'équation donnée par le théorème des forces vives.
7^ brSkUlQlK. DES SV&TÊIIES.
'VSfK Réactions de Taxe. — Pour pouvoir calculer ces réactions, fioij^ supposerons que Timmobililé de Taxe de rotation a été '/ht^oue en fixant deux de ses points O et O".
Soient Q'' X', V Z' . et Q''(X''. Y". Z" ■ les réactions de l'axe eo ces deux points ' /ig- 200 i. Nous pourrons considérer le corps comme libre en ajoutant aux forces données ces forces Q' etQ^: ;fppliquarjt alors au système le théorème des quantités de mouve- ment projetées, nous aurons les trois équations suivantes
Kn appliquant ensuite le théorème des moments des quantités (le mouvement par rapport aux axes Ox et O^, et appelant h le z du point 0'\ il nous viendra les deux équations
2;'"(->'S 4f)-2'^^-^^'^-''^■• CiV.s deux dernières équations déterminent X" et Y" : les deux premières du ^^roupe précédent donnent X', Y', et la troisième la .somme Z' ! Z'. 11 se présente ici la même particularité que dans lo cas de Téquilibre, particularité que nous avons étudiée en Statique : en supposant le corps absolument rigide, on comiaU seulomonl Z' - Z"; on ne pourrait déterminer entièrement Z'et Z" qu*on tenant conipte des dérormations élastiques du solide (n® 110). (^ette indétermination lient à ce que, le corps étant rigide, on peut, sans changer IVtat du corps, appliquer aux deux points 0 et O^ deux forces quelconques / ei — / égales et directement opposèe>; les composantes Z' et Z" des réactions deviennent alors Z - /» Z"---/; Tune d'elles peut, par un choix convenable de/, prendi*e une valeur arbitraire, zéro par exemple.
Nous déxelopi^rons les équations précédentes en remplaçant les dorixéos secondes dos coordonnées par leurs valeurs en fonction
CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE. 79
de (o. Nous avons déjà obtenu
dx dy dz
nous en déduisons
d*ar . dit) d^ y . diû d^z
et nos formules deviennent
(I) / o = Z'-f-Z'-+-Vz,
oi^^myz- -^^^^^ ^^{yZ--z\)--h\\ ^ mxz — -j- ^^myz =^^( zX - xZ) -4- AX'.
w«
Les sommes qui entrent dans les formules précédentes varient avec le temps; ^mx, par exemple, a pour valeur MÇ, Ç étani Tabscisse du centre de gravité. Pour calculer les autres sommes, on imagine un système d'ax<*s (O, x\y ^ z') entraîné avec le corps solide, Oz' coïncidant avec O;;, et xOx' étant égal à o. On a pour formules de transformation
X — ar'cosQ — y' sinç, y ~ X sin© -i-^'coscp. z^z\ d'où Ton déduit
'Zmyz - sin cp2/?ïar'^'-+- coscpSm^'^', ILtnxz — cosçpS/nj^'^s' — sin çpSm^'-3';
et les sommes qui entrent dans les seconds membres de ces der- nières équations sont indépendantes du temps.
Ca$ particulier, — Les formules se simplifient quand l'axe de rotation est axe principal d'inertie par rapport au centre de
8o DYNAMIQUE DES SYSTÈMES
gravité. On a. en effet, dans ce cas
Les équations qui donnent les réactions deviennent alors
I.(yZ —z\)-hY''^ o, i:(-3X-a^Z)~AX'.-^o,
équations de même forme que les cinq premières condilioDS d'équilibre (n** 110). La dernière condition d'équilibre n'est pas remplie, carN — - Y.\^xY — ^^X) n'est pas nul : celte quantité est
égale à MA'--^--
Pour interpréter géométriquement ce résultat {/ig. 201 j, fai- sons la réduction à l'origine des forces extérieures F (X, Y, Zi
qui agissent sur le corps, nous aurons une résultante générale l\(2X, 2 Y, SZ) et un couple d'axe OH; décomposons ce couple en deux dont l'un a un axe ON dirigé suivant O^j et l'autre un axe OK perpendiculaire à Os. Si Ton supprimait le couple ON, en soumettant le corps seulement à la résultante générale R et au couple d'axe K, le corps supposé immobile serait en équilibre, et les réactions de l'axe auraient certaines valeurs Q' et Q". Si main- tenant on lance le corps avec une vitesse angulaire initiale quel- conque, et si l'on fait agir le couple N, le corps se meut, mais les réactions de l'axe restent ce qu'elles étaient dans l'équilibre.
Remarque. — Les formules (i) montrent quel intérêt il j a, dans une machine, à ce (jue les pièces tournantes, comme les volants, tournent autour d'un axe principal relatif au centre do i;ravilé. Car, s'il n'en est pas ainsi, le carré de la vitesse angulain; ligure dans les valeurs des réactions; dès lors, cpiand la vitesse
CHAPITBE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE. 8l
angulaire devient grande, les réactions, et par suite les pressions sur Taxe, deviennent très grandes et peuvent amener des ruptures ou des arrachements de l'axe.
361 . Axes permanents et axes spontanés de rotation. — Reve- nons maintenant au cas où Taxe de rotation est quelconque, et supposons d'abord que les forces données admettent une résul- tante unique passant par le point O. On aura alors
I,{yZ — zY) = S(3X - xZ) = £(a?Y— j^X) = o.
Les équations deviennent
— wtSma? =2:X-+-X'-+-X',
— ti^Zmy =2\-+-Y-hY', <2) { o = 2Z -hZ' -+-Z'.
ta^l.myz = — AY',
constante, car -77=0.
(I) étant la vitesse angulaire de rotation qui, dans ce cas, est
di
Cherchons s'il peut arriver dans ces conditions que la réaction de O^ soit nulle ; il faudrait pour cela que l'on eût
X'=o, Y'=o, Z' = o, c'est-à-dire
£ myz = 0, 2 /nar-s = o,
OU enfin que Taxe de rotation fût axe principal d'inertie par rap- port au point O.
Supposons ces conditions réalisées : la réaction du point O'^ est nulle. Ce point n'exerçant aucune action sur le corps solide, on peut le supprimer, c'est-à-dire rendre ce solide libre en O'^sans rien changer à la nature du mouvement. On peut donc énoncer le théorème suivant :
I. Si un corps solide, mobile autour d'un point fixe, est soumis à des forces extérieures admettant une résultante qui passe par ce point, et si ce corps commence à tourner autour d'un axe principal d^ inertie pour le point fixe, il continuera indéfiniment à tourner autour de cet axe, avec une vitesse angulaire constante,
A., II. 6
82 DYNAMIQUE DES SYSTÂMBS.
C'esl en raison de cette propriété que les axes principaux d'inertie sont parfois appelés axes permanents de rotation.
Supposons maintenant qu'il n^y ait aucune force donnée appli- quée au corps. Dans les équations ci-dessus (2), on aura
Peut-il arriver alors que la réaction du point O soil nulle en même temps que celle de O'^? Il faut, pour réaliser cette circonstance, joindre aux conditions précédentes les équations
2 mx = 0, I.my = o;
l'axe de rotation est alors un axe principal de Tellipsoïde central. Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant :
IL Si un corps solide entièrement libre, qui n*est sollicité par aucune force extérieure, commence à tourner autour d'un axe principal de Vellipsoïde central d'inertie, il continuera à tourner autour de cet axe d'un mouvement uniforme.
Cette propriété a fait donner aux axes de l'ellipsoïde central le nom à^axes spontanés de rotation.
Remarque. — Les résultats qui précèdent peuvent être généralisés comme il suit :
1° Supposons que les forces données se réduisent à une résultante pas- sant par O et à un couple dont Taxe est dirigé suivant Oz, Alors co n'est plus constant, et il faut, pour déterminer les réactions, se reporter aux équations (i) où Ton ferait
Y.{yZ — z\) = S(5X — JcZ) = o.
On trouvera encore que les conditions nécessaires et suffisantes pour que la réaction de O' soit nulle sont
l,mxz = o, I,mjrz = o. En effet, ces conditions sont d'abord
- 0i^2^mTz — -^ 2^myz = o, équations linéaires et homogènes en Imyz, I,mxz dont le déterminant
APITRE XIX.
OHI-8 SOLIDB.
^&ï
t dilTérent de zéro, du n
t que le corps est en mouve-
doncpauTZm^s etS.mxz, des valeurs nulles. ■à" De même, si l'on suppose que les forces données appliquées au corps se réduisent uniquement i un couple d'axe parallèle à Os, il faut et il suffît, pour que les réactions des points O et O' soient nulles toutes deujL, que l'axe Oj soit un ase principal d'inertie relatif au centre de gravité.
362. Pendille composé. — Le pendule cotnposé est constitué par un corps solide pesant ponvaat tourner libremeat autour d'un axe horizontal fixe.
Nous prendrons pour axe des z Vaxe de suspension autour duquel peut tourner le corps, et pour plan des xy le plan vertical qui conlient le cercle décrit par le centre de gravite G, l'axe des x étant la verticale dirigée vers le bas.
Soit, à l'époque t, Q l'angle que fait la droite OG avec la ver- ticale Ox; la vitesse angulaire, à cet instant, est
et l'équation du mouvement
1< Mcond membre, somme des moments des poids par rapport à Os, est le moment — Mg/sinO du poids total appliqué au centre de gravité dont l'ordonnée est_^^ /sînQ.
En remplaçant u par ^> nous avons donc l'équation
84 DTKAVIQCB DES STSTlllIES.
Comparons celle équation à celle du mouvement d'un pendole simple de longueur P, savoir
dp - f '""'■
Nous voyons que le mouvement du pendule composé est le même que celui d'un pendule simple donlla longueur sérail
Ce pendule simple est appelé le pendule synchrone du pendole composé.
Si, sur la droite OG, on porte une longueur 00'=^ f, le pointO* du corps solide oscille comme s'il était détaché du corps elreKi au point O par un fil sans masse. Désignons par p le rajonde gyralion du corps par rapport à un axe parallèle à Os et passanl par le centre de gravité, nous aurons (317)
ou, en tirant k^ et portant dans la valeur de /,
de là résulte que 00' est toujours plus grand que OG et que lei distances OG, O'G qui ont respectivement pour valeurs / et 4- sont liées par la relation
OG X 0'G = p>;
l'axe mené par O' parallèlement à l'axe de suspension a reçu de Huygcns le nom di'axe d'oscillation. Tous les points de cet ixe oscillent comme s'ils étaient détachés du corps et relies par des lils sans masse à l'axe de suspension. La formule précédcn te monire que l'axe d'oscillation cl l'axe de suspension sont réciproques. Dç sorte que, si l'on suspendait le corps par l'axe d'osciUj l'ancien axe de suspension deviendrait le nouvel axe d'oscqj
Tuf.oBÈME iiK Hlvgens. — Si, dans an pi centre de gravité, de part et d'autre de ce poi
CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU COBPS SOLIDE. 85
axes parallèleSy inégalement distants du centre de gra\?itéj et pour lesquels la longueur du pendule simple synchrone est la même, cette longueur est précisément égale à la distance des deux axes.
Si, en effet, /et /| sont les distances du centre de gravité aux deux axes supposés O et 0| et /'la longueur commune du pendule synchrone, on a
l'=l^^2. et /'=/,-+-^^ la comparaison de ces équations donne
d'où, en supprimant la solution 1=: l^,
la distance des deux axes /+ /| est donc bien égale à la longueur
/ _!-. L du pendule synchrone; l'un des axes étant pris pour axe
de suspension, l'autre est Taxe d'oscillation.
C'est sur ce principe qu'est fondé le pendule réversible de Kater employé en Géodésie. Ce pendule est un solide de révolution, formé de deux cylindres aplatis reliés par une tige creuse : per- pendiculairement à cette tige, et symétriquement par rapport au milieu de la tige, sont fixés deux couteaux d'agate, autour desquels le système doit alternativement osciller. L'un des cylindres est vide, l'autre est rempli de plomb, de sorte que le centre de gravité est situé plus près de l'un des couteaux que de l'autre : d'après le théorème d'Huygens, on peut régler les masses de manière que la durée d'oscillation soit la même autour des deux axes, et cette durée commune est celle d'un pendule simple ayant pour longueur la distance des arêtes des couteaux.
On donne au pendule une forme extérieure symétrique par n|ipoit au milieu de la tige pour que la résistance de l'air soit la
le pmdale oscille autour de l'un ou de l'autre des
fnSy si les durées des oscillations dans
I nx couteaux, elles seraient encore
■^rOmmune des oscillations serait
86 DYNAMIQUE DBS SYSTÈMES.
un peu plus courte dans le vicie que dans Tair, comme on Ta déjà vu pour le pendule simple (n** 249).
Réactions de l'axe dans le mouvement du pendule composé* —
Plaçons-nous dans le cas particulier où le pendule composé est symétrique
par rapport au plan xOy dans lequel oscille le centre de gravité. L'axe
de suspension est alors un axe principal d'inertie pour le point O, puisque
le plan xOy est un plan de symétrie pour l'ellipsoïde d'inertie en O. On
a donc
S/n4:-s = o, 2/nj'-3 = o.
On peut prévoir, par raison de symétrie, que la réaction de Taxe de suspension sur le pendule peut alors être réduite à une force unique Q' appliquée en O et située dans le plan xOy : c'est ce qu'il est facile de vérifier en appliquant les formules générales précédentes (i). En effet, admettons, pour un moment, que la réaction se compose d'une force Q\X', Y', Z') appliquée en O, et d'une force Q'(X% Y', Z') appliquée en un point O' de O^ à la distance h de O. La seule force directement appli- quée étant le poids M^ en G, on a ici (Jî^. 2o3)
SX = M^, 2Y = o, 2Z=o,
2(^Z — ^Y) = o, 2(5X — xZ) = o,
où les deu\ dernières formules sont évidentes, car le poids M^ est dans le plan xOy, Les formules (i) donnent alors, en y remplaçant I>mx par MÇ et I>my par Mtj,
(3)
- (uîMÎ - ^Mr, = X'-+- X'-+- M^,
_coVMr.u-^MC = Y'-f-Y', at
o = Z' - Z'.
o= — /lY', o = /i.V.
CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE. 87
Les deux dernières montrent que X' et Y' sont nuls; les deux compo- santes Z' et Z' dirigées suivant Oz ayant une somme nulle sont égales et directement opposées, et peuvent être supprimées, ce qui revient à faire Z'= o, Z'= o. Alors la réaction Q' est nulle et la réaction Q' est dans le plan xOy où elle a pour composantes suivant les axes Ox et Oy les quantités
X' = — o)«M5 - ^Mr,— M^,
(4) { ,
Y' = — a)«MT,-4-^M5.
Calculons les composantes Xi et Yi de la réaction Q' suivant la direc- tion OG et la direction perpendiculaire OP dans le plan xOjr {fig. 2o3);
on aora
X,= X'cose-h Y'sine,
Y, = X'sin6- Y'cose.
D'autre part, comme
l — \ cos6 -H T) sin6,
o = { sin6 — 1) cos6, les formules (4) donnent alors
Xi = — Mu>*/ — M^cosO, Y, = -M^/ — M^sine.
Mais, d'après l'équation du mouvement
et d'après le théorème des forces vives (fournissant une intégrale pre- mière de cette équation), on a
wî=^cose-»-C. Donc, enfin
X, = — M^^^-+-i^co86-MC/,
Y, = M^(J,- lysine.
Comme /*= k^ — p*, la composante Yi suivant OP est toujours de signe contraire à sinO ; elle serait nulle si le corps solide était réduit à un point, c'est-à-dire si le pendule était simple; car, dans ce cas, /•= A:*. Ce dernier résultat est évident, car, dans un pendule simple, la réaction du point d'attache est égale et opposée à la tension du fil sur ce point.
88 DYNAMIQUE DES STSTàMES.
363. Étude de la variation de la longueur du pendule simple 83mclirone quand on déplace Taxe de suspension dans un corps
donné. — La formule /'= /H- ^ permet tout d'abord d'étudier
les variations de la longueur du pendule synchrone quand l'axe de suspension se déplace dans le corps parallèlement à lui-même; l'expression même de cette longueur montre que l' a un minimum
lorsque les deux termes ^ et y sont égaux, c'est-à-dire lorsque
l'axe de suspension est à une distance du centre de gravité égale au rajon de'gyration p, et cette valeur minimum est égale à 2p. Si l'on se donne la longueur l supposée plus grande que 2p, il existe deux valeurs correspondantes de /; les axes de suspension parallèles à la direction considérée, pour lesquels le pendule simple synchrone a la même longueur /', engendrent donc deux cylindres de révolution dont l'axe commun passe par le centre de gravité.
Prenons maintenant des axes de suspension quelconques. Pour voir comment varie la longueur /' du pendule simple synchrone, rapportons le corps aux axes de l'ellipsoïde central d'inertie : l'équation de cet ellipsoïde est
AX«-hBY«-+-CZ«=i.
Désignons par a, p, y les cosinus directeurs de l'axe de suspen- sion A, et par / sa distance au centre de gravité, c'est-à-dire à roriglne choisie. Le moment d'inertie M p^ du système par rap- port à la parallèle A' à Taxe de suspension menée par le centre de
gravité est (318)
Mp«= Aa«-i-B3«-f-CY«.
On a donc pour la longueur du pendule simple synchrone
^ Ml
A l'aide de cette formule, on peut étudier le complexe formé par les axes pour lesquels le pendule simple synchrone a une lon- gueur donnée. Cette élude est faite dans un Mémoire de M. Bo- klen {C relie, t. 93) dont on trouvera quelques résultats impor- tants indiqués dans l'exercice 5 à la fin du Chapitre,
CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE. 89
364. Machine d'Atwood. — Un treuil homogène mobile autour d*un axe horizontal porte, enroulé en sens inverse sur chacune de ses deux roues, un fil flexible et sans masse. Ces fils supportent deux masses pesantes m et m! {fig* ao4); nous nous proposons d'étudier le mouvement de cet ensemble.
Les forces données sont les poids mg^ f^' g% ^g des masses suspendues et du treuil; les forces de liaisons sont les tensions T et — T du fil Am, et les tensions T', — T' du fil A' m'; il y a de plus les réactions de l'axe.
Fig 204.
Comptons les rotations positivement de Taxe Ox vertical, dirigé vers le bas, vers Taxe O^, et désignons ])ar to la vitesse angulaire, x la distance Anij x' la distance X'm', R et R' les deux rayons OA et OA'.
Ce système est à liaisons complètes, car sa position dépend uniquement de l'angle dont tourne le treuil; de plus, on suppose qu'il n'y a pas de frottements. Nous obtiendrons donc l'équation du mouvement en appli- quant le théorème des forces vives sous la forme du n° 346.
La force vive du système se compose de celle du treuil MA:*u)', et de
11 j . / /^-^V ,/dx'Y ^,
celles des points m et m ^ ml -t- j et m ( -y- j • D autre part, les travaux
des poids des deux points m et m' sont mg dx et m' g dx* \ le travail du poids du treuil est nul, car le centre de gravité du treuil est immobile. Les travaux des forces de liaison ont une somme nulle. On a donc
\[
d- |]VUî(u«H-m
(dxy
\dt)
,/dx'
m ( —f-
\ dt
)•]=
mgdx-^m'gdx'.
Les poids m et m' ont d'ailleurs mêmes vitesses respectives que les points du treuil qui sont en A et A'; donc
dx Tt
= Ru),
d^ dt
= -R'(u.
En substituant, on a Téquation du mouvement.
go DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
Nous obtiendrons aussi cette équation en appliquant le théorème des moments des quantités de mouvement par rapport à l'axe du treuil. La somme des moments des forces se réduira à la somme des moments
mgK — rn gK'
des poids mg^, n{ g\ les moments des autres forces disparaissent d'eux- mêmes.
D'autre part, la somme des moments des quantités de mouvement du treuil est MAr'cO) celle relative aux points m, m! est
dt dt '
nous avons donc Téquation
d / dx dj^'\
J^(M^*cu-f-/nR^ — m'R'^j = mgK-m'gK%
dx dx' qui donne, en remplaçant -rr et -7- par Rw et — R a>,
^(MA:»-f-/nR«-hm'R'«) = m^R — m'^R'; d'où, pour -7--» la valeur constante
dt
— — mK — m'K'
dt ""^MX:î-+-/nRî-+-m'R'«
Les accélérations R-r- > — ^' -rr ^^s points m, m' sont donc constantes,
at dt
et les mouvements de ces points sont uniformément variés. On voit d'ailleurs immédiatement que leurs accélérations sont moindres que g.
Pour calculer la tension T du fil A m, nous écrirons l'équation du mou- vement de m
qui donne
on aurait de même
^-"■(^-■«■w)
Cherchons enfin les réactions de l'axo du treuil. On peut admettre que, à cause de la symétrie, les réactions de TaiA iÉ.C|i4«itent à une force unique Q appliquée en O et normale à l|MtHNH *Q treuil le
théorème du mouvement du centre d# tÊ^^^^^^KmÊmm «miot reste
CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE. 9I
immobile, il faut que les forces extérieures au treuil, appliquées au treuil,
Q, M^, T, T', transportées au point O, se fassent équilibre; il en résulte
que la réaction des appuis sur l'axe est verticale, dirigée vers le haut, et a
pour valeur
Q = M^-4-T-+-T', c'est-à-dire
Q = (M + m + m )^_ ^jj^^_-^j-__ ^;
cette réaction, toujours moindre que la somme des trois poids, ne lui serait
égale que si Ton avait
/?i R = m' R ,
auquel cas le mouvement serait uniforme puisqu'on aurait -j- = o.
Nous remarquerons qu'ici le treuil tourne autour d'un axe principal d'inertie relatif au centre de gravité; il en résulte, comme nous l'avons vu, que la réaction des appuis est donnée par les formules que l'on obtient en négligeant le couple dont l'axe est parallèle à l'axe de rotation, ce qui donnerait immédiatement la valeur de Q.
n. - MOUVEMENT D'UN SOUDE PARALLÈLEMENT
A UN PLAN FIXE.
365. Généralités. — Dans les exemples précédents entrent des solides dont les points sont assujettis à se dép]dicer parallèlement à un plan fixe. Supposons, d'une manière générale, un solide assujetti à se déplacer de cette façon : par exemple, un cylindre reposant par sa base sur un plan fixe; chaque point du corps décrit alors une trajectoire située dans un plan fixe parallèle au plan fixe donné. En particulier, si, par le centre de gravité, dans sa position initiale, on mène un plan xOy parallèle au plan fixe, le centre de gravité restera dans ce plan : il en sera de même de tous les points du corps qui, à Tinstant initial, se trouvaient dans ce plan. Représentons la section S du corps par le plan xOy; pour déterminer la position du corps, il suffit évidemment de connaître la position de cette section S, c'est-à-dire les coordonnées i et y^ du centre de gravité G {Jig> 2o5) par rapport aux axes fixes O^ et OjTy et Tangle 0 que fait un rayon G/w invariablement lié au corps avec Taxe Ox.
Le corps solide étant supposé sollicité par des forces extérieures dont nous appellerons X| , Y| ; Xj, Yj, ... les projections sur les
ga DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
axes 0:r et Oy^ le théorème du mouvement du centre de gravité donne d^abord les deux équations
les sommes 2 étant étendues à toutes les forces extérieures.
a>
Par le centre de gravité G menons des axes Gx' et G y paral- lèles aux axes fixes, et appelons a/, y les coordonnées d'un point du corps par rapport à ces axes, Mk^ le moment d'inertie du corps par rapport k un axe Gz' perpendiculaire au plan x^Gy, Le mouvement relatif du corps par rapport aux axes Gx^yz' est
une rotation de vitesse angulaire --r. autour de Gz'. Comme le
théorème des moments des quantités de mouvement s'applique au mouvement autour de G, on a l'équation
que l'on obtiendrait aussi, comme dans le n*' 359, en appliquant le théorème des forces vives au mouvement relatif autour du centre de gravité.
Telles sont les trois équations qui déterminent Ç, y^, 8 en fonc- tions de t. Parmi les combinaisons de ces équations pouvant rem-: placer l'une ou l'autre d'entre elles, mentionnons :
i** L'équation obtenue en appliquant le théorème des moments des quantités de mouvement par rapport à l'axd fixe 0-3 perpen- diculaire au plan xOy. D'après un théorème que nous avons démontré, la somme des moments des quantités de mouvement des différents points du corps par rapport à Os est égale au moment de la quantité de mouvement de la masse totale supposée concen-
CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE. gB
trée au centre de gravité M(?^— r^^j, plus la somme M/r^ -^
des moments des quantités de mouvement par rapport à l'axe G^', cette dernière somme étant calculée dans le mouvement relatif autour de G. On a donc l'équation
a^ Uéquation obtenue en appliquant au mouvement absolu le théorème des forces vives. D'après le théorème de Kœnig (n** 350), la force vive totale est égale à
m[(S)'-(S)>-(S)^
on a donc l'équation
cdiV dz est nul pour tous les points.
En appelant I le moment d'inertie du corps par rapport à un axe perpendiculaire au plan xO y^ et passant par le centre instan- tané de rotation de la figure plane S, on peut dire aussi que La
force vive est I ( -^ j f car les vitesses sont les mêmes que si le corps
tournait autour de cet axe instantané : mais l'axe considéré se déplaçant dans le corps, I est variable.
Remarque. — Il peut exister d'autres liaisons, outre celles qui assujettissent le corps à se déplacer parallèlement au plan fixe xOy : les forces provenant de ces liaisons figurent alors dans les seconds membres de certaines des équations précédentes, et il faudra les éliminer. Cependant, si les liaisons sont indépendantes du temps et réalisées sans frottement, les forces de liaison ne figurent pas dans l'équation des forces vives (5).
SI l'on a plusieurs corps solides mobiles parallèlement à un plan fixe, on pourra appliquer à chacun d'eux les équations précé- dentes et éliminer ensuite les réactions mutuelles des corps, ou appliquer les théorèmes généraux à l'ensemble de ces corps. On verra dans les exemples suivants comment on peut résoudre ces sortes de questions.
94
DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
366. Exemple I. — Une barre matérielle de longueur 7,1 {Jig. ao6), et de niasse M, est assujettie à glisser sans frottement sur un plan horizontal : les éléments de la barre sont attirés par un axe fixe Ox proportionnellement aux masses et aux distances.
Soient Ç, t^ les coordonnées du centre de gravité de la barre AB, ^Tor-
Fig. 2o6.
donnée mp d'un élément de masse m; la force F agissant sur cet élément est dirigée suivant mp et proportionnelle à cette distance et à m; donc
X=:o, \ = -f^my, 2Y=-/«2m>'= — M/«Ti. Les équations du mouvement du centre de gravité donnent donc
^M
= 0,
dt^
d'r^ _ et dti """"•' "^^
T) = A sin(/^-+- a),
et, en éliminant f, on a pour la trajectoire du point G une équation de la
forme
7) = Asin(X5 4-|i),
X et fJi désignant des constantes : cette courbe a la forme d'une sinusoïde.
Soient Qx\ G y' des axes parallèles aux axes fîxes menés par G; 0 l'angle BGa?', et r le rayon Gm compté positivement de G vers B, négativement de G vers A.
On a, en appelant x'^ y* les nouvelles coordonnées du point m,
x=^\-\-x\ y = Ti-^y\ Y = -/«m(r, 4-y).
Le théorème des moments des quantité sde mouvement appliqué au mou- vement relatif autour du centre de gravité donne
dt*
Mk^^=Tr^ =.S(ar'Y— yX)=— /»S/nar'(Tî+y),
où MA:' est le moment d'inertie de la barre par rapport au point G. En séparant la dernière somme en deux parties, on voit que la première Zmx'ri = 7)2 ma?' est nulle, car l'origine mobile est le centre de gravité;
CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE.
la deuxième devient, en passant aux coordonnées polaires,
x' = r cosd, j''=rsin8, Zntx'y =^ Smr* sinOcosO = MA:' sinô cos6.
Donc Téquation est, après division par M k*,
95
(6)
-rr = — /*sin 8 cos6.
L'intégration et la discussion de cette équation sont analogues à celles de réquation du pendule simple, comme on le verrait en faisant 2O = cp.
En multipliant les deux membres de l'équation du mouvement par i-j- et intégrant, on a
^)'=„.-/.,i..«,
i
ci> désignant la valeur de la vitesse angulaire pour 0 = o. Il y aura oscilla- tion de part et d'autre de Gx' ou mouvement révolutif, suivant que u>* es t plus petit ou plus grand que/*. Pour 10'=/*, on a
^^ / A
</=logtang^- 4-^j
en comptant t à partir de l'instant où 0 est nul. Alors la barre tend à se placer perpendiculairement à la direction Oxj mais elle n'arrive jamais à
7C
cette position, car, quand 0 tend vers -> t augmente indéfiniment.
Les oscillations définies par l'équation (6) sont appelées quadrantales par Tait et Thomson {Natural Philosophy, § 322).
Exemple H. — Mouvement d'un cercle homogène pesant^ assujetti à rester dans un plan vertical et à rouler sans glissement sur une droite de ce plan, — Prenons pour axes la droite donnée Ox et sa perpendicu-
Fig. 207.
laire O y dirigée vers le haut dans le plan donné, et désignons par a l'angle àt Ox avec l'horizon. Le système constitué par le disque mobile
96 DYNAMIQUE DES 8TSTéME8.
est à liaisons complètes; sa position dépend d'un seul paramètre, l'angle AC6 = 0 dont il a déjà tourné, ou l'abscisse OA = :r du centre.
On peut réaliser cette condition d'un roulement sans glissement, soit à l'aide d'un fil tendu sur Oo; et enroulé sur le disque, soit en munissant le disque et la droite fixe de dents très petites. Pour exprimer que le disque peut seulement rouler sur la droite sans glisser, on dit dans cer- tains ouvrages que la droite est parfaitement rugueuse. L'abscisse x aura, d'après ce qui précède, la valeur
ar= R6,
si nous supposons que le point B a primitivement coïncidé avec O.
Les forces qui agissent sur le disque sont son poids M^ appliqué en son centre C, et la réaction oblique Q de la droite. L'équation du mouvement nous sera donnée par le théorème des forces vives. La force vive totale
-7- ] » augmentée
de la force vive dans le mouvement autour du centre de gravité,
MA:' ( ;7~) ' puisque ce mouvement relatif est un mouvement de rotation
//ft de vitesse angulaire •^« Nous avons déjà vu que le travail de la réaction
est nul (no 162); quant au travail élémentaire de la pesanteur, c'est M^^orsina; nous avons donc
X
remplaçons 6 par sa valeur — » divisons par M et effectuons la différentia-
tion indiquée au premier membre, nous aurons, en résolvant par rapport . d>x
d^x ^ sina IF ""^ F'
Le centre du disque décrit donc une parallèle à l'axe des x, d'un mou- vement uniformément varié; et l'expression ci-dessus montre que son accéléralion est toujours inférieure à g^ même lorsque la droite est verticale.
Tout ce qui précède ne suppose pas que le disque soit homogène, mais seulement que le cenlre de gravité coïncide avec le centre de figure. Dans
R-
l'hypolhèse de l'homogénéité, nous avons trouvé pour k^ la valeur — ;
CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE. 97
noQs voyons qu'alors l'équation du mouvement devient
Pour calculer les projections — F, N de la réaction Q sur les axes Ox et Ojr, nous écrirons les équations du mouvement du centre de gravité
€t^X
M-^-^ = M^sina — F,
M
d^y
dt
Y = — M^ cosa -r- N.
Remplaçant -^-^ par sa valeur, et remarquant que --7^ ^^^ i^ul, nous
aurons
F=-M^sina, N=M^cosa.
La réaction est donc constante.
Exemple ni. — Mouvement d'un double cône paraissant remonter, quoique descendant, sur un plan incliné. (Resal, Comptes rendus, t. CXI, p. 547.) — Soient deux droites OD, OD' également inclinées sur rhorizon et formant un angle 2q dont le sommet est en bas. Sur cet angle, on place un solide formé de deux cônes homogènes identiques accolés par la base, de telle façon que le plan de la base coïncide avec le plan ver- tical {0( mené par la bissectrice 0^7 de Tangle DOD'. On demande le mouvenaent du double cône en supposant qu'il ne peut que rouler, sans
Fig. 208.
glisser, sur les deux droites OD et OD'. Prenons pour plan de la figure le plan vertical mené par la bissectrice 0^7 de l'angle DOD' et choisissons un axe OX, vertical vers le haut, un axe horizontal O^. Les deux droites OD, OD', servant de guides au double cône, se projettent sur le plan de la figure suivant Ox\ les deux points par lesquels les cônes touchent ces guides se projettent enT; enfin, les sommets des deux cônes se projettent sur ce même plan en un point G, car tout l'appareil est symétrique par rapport au plan (02^.
A,, II. 7
Les plans langeais 3u\ deux cdn OD el OD' fonl, avec le plan horiz^ sont dxes; ces deux plans se couf que le double cône semble reinoo il faut que On
a mcni!-s re.spcciivement par les guides niai, un angle constant cl, par suite, enl suivant une droite fixe Om, Pour er, quand on l'abandonne l'i lui-mfuc
itué au-dessous de O^ (comme dans la
■e). Nous appellerons i l'angle ^O zon. La base des deux cùnes esl un cercle constamment langent à la droite Om; le centre C de cette base, qui est en même temps le centre de gra- vité de l'appareil, décrit donc une droite O'S parallèle à Om.
Si l'on considère la figure plane formée par la base mobile dans le plan ÎOÇ, le cenlre instantané de rotation esl en T, puisque le solide roule sur , La droite TC, donl nous désignerons la longueur par r, est donc normale à la trajectoire du pninl C, c'est-à-dire à la droite O'S. Si l'on appelle J la longueur O'C, 0 l'angle dont le double cône a tourné à partir d'une position déterm:
système esl
<it'
tournait 3
(0
|
vitesse angulai |
■e de rotation d |
|
sont les même |
que si le systém |
|
mur du centre |
ostaniané T, on |
" dl
dl
ds =
rdh{
n
pendant le temps dl, le point
sont parallèles comme norme
on mène une parallèle CE i
-dr- Dans le triangle rccl
: vient en C, T en T', les droites TC et T'C :s k la droite O'S, CC est égal à dt; si par C Ox, CE est égal à CT— G'T', c'csi-à-dtre ingle CC'E on a donc, en appelant X l'angle
lomme étant égal à xOm,
|
"^!ÏÏ\^ |
ive est, d'après le théorème de Kœnig, |
|
-'(S)'-«-(7t)'. |
|
|
lanl MAI le m |
ment dinerlie des deux e^nes par rapport à leur |
'(S)-;
car la somme dos Iravau
le travail élémentaire du pold
= — M^rfrsini col
:s des forces de liai» t
CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE. 99
Appelons ro la valeur initiale de r et intégrons les deux membres en
supposant que la vitesse initiale, c'est-à-dire la valeur initiale de -r-» soit nulle. Nous aurons
(3) (r»-+- A:«) ^^V = a^(ro— r) sint cotX.
dr d'où en6n, en remplaçant d^ par la valeur cotX, tirée de (2), et
désignant par fi la constante /a^sint tangX, -
K^'-*^^i/p?^
comme r va en diminuant à partir de ro, ainsi qu'il est évident géométri- quement et qu'on le voit en remarquant que la quantité sous le radical doit être positive, il faut prendre le signe — ; donc enfin
(4)
/ est ainsi exprimé en r par une intégrale elliptique. Quand r lend vers zéro, / augmente indéfiniment; le centre de gravité G tend donc vers la position limite A sans jamais l'atteindre. D'après les relations (2) on a
dr
— = — rfô tangX, r = roe-®*»"»^, r
en appelant 0 l'angle dont le corps tourne à partir de la position initiale. On a ensuite, toujours d'après (2),
s — 5o= (tq — r)cotX;
cette dernière formule permet de transformer la relation (4) en une rela- tion entre 5 et ^ : on aurait ainsi une formule définissant le mouvement du centre de gravité G sur la droite O'S. La vitesse V du centre de gravité est donnée par
"^'-'"Kdi) =^^s.n^cotX-^,-^
comme on le voit, d'après (3). Gette vitesse s'annule dans la position ini- tiale pour r = Tq, et, dans la position limite, pour r = o. £lle passe donc, dans l'intervalle, par un maximum aisé à calculer.
Le mouvement de la base des cônes dans le plan X^0\ s'obtient en faisant rouler la spirale logarithmique r = p^e-^^^^^ sur la droite Ox : c'est ce
100
DYNAMIQUE DES STSTÉUES.
qui résulte des équations précédentes. ( Voir une Note de M. Mannheim, Comptes rendus, 3 novembre 1890; une Note de M. de Saint-Germain, Comptes rendus, 1891, et un article de M. H. Fleury, Nouvelles Annales, juin 1854.)
On trouvera aux exercices (10) l'indication de la solution d*un problème analogue, dans lequel le double cône serait remplacé par une sphère.
Exemple IV. — Pendule elliptique, — On appelle ainsi le système de deux points pesants M, Mi, invariablement liés l'un à l'autre par une tige sans masse, dont l'un, M, est assujetti à glisser sans frottement sur une droite horizontale Oxj et l'autre, Mi, à rester dans un plan vertical xOy,
Nous prendrons pour axe des^ une verticale dirigée vers le bas.
Les forces agissant sur M sont : son poids m,g^ la réaction normale N de Oxy et la tension T de la tige MMi ; celles qui agissent sur Mi sont : la tension — T et le poids mig. On peut diviser ces forces en forces inté- rieures T, — T et forces extérieures N, mg^ ^ié^\ ou encore en forces données m^, mig, et forces de liaisons N, T, — T.
La configuration du système ne dépend que de deux paramètres : l'abscisse x du point M et l'angle 6 de MM] avec la verticale; il sufGtdonc de deux équations indépendantes des forces de liaisons pour définir le mouvement {Jig' 209).
Fig. 209.
La première de ces équations nous sera fournie par le théorème du mouvement du centre de gravité : la somme des projections des forces extérieures sur l'axe des x est nulle, donc
(I)
(m-f- '^1)2^ = 0:
le mouvement de la projection du centre de gravité sur Ox est ainsi uni* forme, ce qui donne la première équation
(»)
mx -h m iXi = et -i- c'.
En appliquant le théorème des forces vives, nous aurons, les liaisons
CHAPITRE XIX. — DTNAMrQXJB'QU CORPS SOLIDE. ICI
étant indépendantes du temps et réalisées sanr^^ frottement,
d -^migdyu
car le travail de mg est nul.
Il est aisé de vérifier que les travaux des forces de Itâicons ont une somme nulle : la force N reste normale au déplacement de son point d'ap- plication et la somme des travaux des tensions T, — T est nuHe en. yertu de cette condition que les points MMi doivent rester à une distah<<^:rava-
* • #
riable. Si Ton intégre l'équation précédente, on obtient
• • •
(3) mi>*-+- /nit>î = ami^(j'i -h A);
les équations (2) et (3) définissent entièrement le mouvement.
Traitons complètement le cas où la vitesse initiale du centre de gravité est verticale ou nulle : l'équation (1) montre que ce point décrit une verticale; nous la prendrons pour axe des y^ et nous aurons ^ = o. Le mouvement est alors défîni géométriquement de la façon suivante : les points M, G, Ml restent à des distances invariables; deux d'entre eux, G et M, décrivent les droites rectangulaires Ox, Oy\ le troisième, Mt, se déplace donc sur une ellipse ayant ces droites pour axes. En posant
MiM=/, ^GM, = e, on a
Les coordonnées des points M et Mi sont donc
Inix . -. Im . - t tk
x = sin8, y=zo] xi= smO, yi=/cos6.
m H- /Tij m -h /ni
Pour calculer 0 en fonction de /, il suffit de porter ces valeurs dans l'équation (3), où
dx* . dx\ -f- dy}
^ dt^' * dt^
On a ainsi, après quelques réductions,
■-T- j = -y-(m -h mi)(cos6-+- A),
où it = y On tire de là t en fonction de 0 par une quadrature.
*
Les conditions initiales n'influent que sur la valeur de k. L'expression de ^ montre qu'il y a deux cas à considérer selon que k est supérieur ou
• •
102 DTNAH^bU£)'DES STSTÊMES.
inférieur à + 1 ; il est d^îHeurs toujours supérieur à — cosOo, puisque -j-
« * '• est nécessairement r^ à l'instant initial. Dans le premier cas, 6 peut varier
de o à 2r, et le mobile l(li décrit périodiquement Tellipse tout entière; dans le second c^^'f^ effectue des oscillations entre les positions corres- pondant aux.' deux valeurs de 0 qui annulent cosO + A:. Le cas singulier où k est ^al à i est celui où la tige MMi, partant d'une certaine position initiale, se/léplace en tendant vers la verticale dans le sens des^ négatifs, sans 'jamais l'atteindre. (Discussion analogue à celle du pendule simple.)
•Revenons au cas général où la projection de la vitesse du centre de •^^r^vité sur Taxe des x est une constante différente de o, et cherchons le '^ mouvement relatif par rapport à un système d'axes xO* y' dont l'un, O' y\ passe constamment par le centre de gravité G, système animé, par consé- quent, d'un mouvement de translation uniforme parallèlement à Ox, Le mouvement relatif est le même que si les axes^'O'ar étaient f]xes(no .334) et le centre de gravité G animé d'une vitesse verticale; c'est le mouve- ment que nous venons d'étudier {Jig> 209).
Pour terminer la question, il nous faut maintenant calculer les tensions T, — T de la tige, ainsi que la réaction N de l'axe fixe Ox,
L'une des équations du mouvement du point Mi est
d^ y, (4) /n, -^ = — TcosO-f-mi^;
mais nous avons
^,= /cose, ^=_/s.ne^, -^=-/sine^-/cos8(^5.^j.
L'équation des forces vives nous a donné une équation de la forme
(S)*=f<«)
qui, par différentiation par rapport à /, devient
en portant ces valeurs de ( ^ ) «l jjf dans .!^'> nous obtenons
rf»yj /sinOç'Ce) , ^ ,^,
Par conséquent on a, d'après l'équation (4)9
T = mi /»(6) -4- m, - tang6<p'(9)'^
CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE. I03
Gonnaissanl T, on a immédiatement N en écrivant que le point M décrit Taxe Ox; on doit avoir
d^ Y mg — N -+- T cos 6 = m -^ = o,
dt^
d'où Ton tire la valeur de N
N = mg-\- TcosÔ.
Exemple V. — Problème. — Trouver le mouvement du système constUué par deux barres homogènes pesantes AB, AB', de longueurs égaies et de même masse, reliées par des fils sans masse de même longueur, la droite AB étant assujettie à tourner autour de son mi- lieu O et tout le système à se mouvoir dans un plan vertical fixe.
La position du système dépend de deux paramètres : l'inclinaison ^ de AB sur la verticale Ox, et l'angle 6 de la droite 00' qui joint les milieux des deux barres avec cette verticale. Le système est soumis à l'action des poids des deux barres, aux tensions T, T' des fils et à la réaction du point fixe O. Pour avoir le mouvement {fig- ^lo)^ il nous faut deux équations
Fig. 210.
.- pendantes des forces de liaisons : elles nous seront données par le
'*eine des forces vives et par le théorème des moments des quantités
oavement par rapport à la normale en O au plan de la figure.
^1 "Piquons d'abord le théorème des forces vives. La longueur des fils
^^ ^^Pposée invariable, les travaux des tensions s'annuleront deux à
de O ^^''ftvail du poids de la barre AB ainsi que celui de la réaction
▼nie *^^^ nuls; quant au travail élémentaire du poids de A'B', il a pour
— M^/sin0rf6.
i^M
^*fe jpapt, la force vive de la barre AB est MA:* (^)*» celle de A'B'
Io4 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
est égale à la force vive dans le mouvement autour du centre de gravité 0' : Mk^l--? ] } augmentée de la force vive de sa masse M concentrée en 0',
c'est-à-dire M/*( -j-j • Nous aurons donc
que nous écrirons en divisant par M dt et effectuant la différentiation
Passons maintenant au théorème des quantités de mouvement appliqué à tout le système. Un calcul analogue au précédent donne pour somme des moments des quantités de mouvement par rapport à un axe Oz normal au plan
la somme des moments des forces se réduisant d'ailleurs à — M^/sinO, nous aurons
^(.MA.^+M/.g)=-M^/.in6,
que nous écrirons
(II) ^k'-^ + ir^^-glsmU.
//fi
Multiplions cette équation par — 77"^^ ajoutons-la à Téquation des forces vives (I), il nous vient
(III) ( -7^ — -7- -T-^ = o. ^ ' \dt dt ) dt^
La quantité -^ — ZT ^^ "çtxsX pas être constamment nulle, car à Torigine du mouvement elle a une valeur arbitraire; nous avons donc
la rotation de la barre ÀB est uniforme. L'équation (II) nous donne alors
5^=--^s.ne.
CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE. lo5
équation du mouvement d'un pendule simple; le point O' se meut donc comme si le reste de la barre A'B' n'existait pas et s'il était relié directe- ment à 0' par un fil sans masse.
Pour calculer les forces de liaisons, nous appliquerons d'abord le théo- rème des moments des quantités de mouvement à la barre AB, par rapport au même axe que précédemment, ce qui nous donnera
M^'-T-v = moment de T'-i- moment de T;
comme --j-^ est nul, et que les tensions T, T'sont parallèles, de même sens
et à la même distance de part et d'autre de l'origine, ces forces doivent
être égales
T = T';
appliquons maintenant le théorème du mouvement du centre de gravité à la barre A'B'; son milieu O' se déplace comme s'il était directement soumis au poids M^ de la barre et aux tensions égales T et T' transportées en ce point. D'autre part, le mouvement de ce point est le même que s'il possé- dait la masse M eV était relié au point O par un fil sans masse; la somme 2T des tensions est donc égale à la réaction du fil dans le mouvement du pendule simple de masse M et de longueur /, savoir :
2T = ^(2a— 3/cose),
a étant une constante dépendant des conditions initiales.
Connaissant alors la tension T, nous calculerons la réaction du point 0 en écrivant que ce point, considéré comme centre de gravité de la barre AB, reste immobile; on trouve ainsi que la réaction Q doit faire équilibre à la résultante du poids M^ et de la somme 2T, dirigée suivant 00', des deux tensions appliquées en A et B.
in. — FROTTEMENT DE GLISSEMENT ET RÉSISTANCE
DE BaUEU.
367. Généralités. — Nous avons, dans le premier Volume (Ghap. IX), Indiqué les circonstances qui se présentent quand deux solides naturels A et B sont en contact par un point, dans les deux cas où ils sont en repos relatif ou en mouvement relatif par rapport à Tautre. Nous avons vu que les actions mutuelles % danx corps sont les suivantes. Soit, dans le corps A, m
lo6 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES.
le point matériel en contact avec B : les actions de B sur A sont (yî^. 21 1) :
I** Une force N appliquée au corps A au point m et dirigée
Fig. an.
normalement aux surfaces en contact : cette force est la réaction normale s'opposant à la pénétration réciproque des corps;
2** Une force F appliquée au même point m et située dans le plan tangent en ce point aux surfaces en contact : cette force est \q frottement de glissement s'opposant au glissement;
3® Un couple G dont l'axe est normal aux surfaces en contact : ce couple est le couple du frottement de picotement s'opposant au pivotement;
4^ Un couple H dont l'axe est situé dans le plan tangent com- mun aux surfaces en contact : ce couple est le couple du frotte- ment de roulement s'opposant au roulement.
Les actions du corps A sur B sont des forces et des couples respectivement égaux et opposés aux précédents. En général, les deux couples G et H sont très petits par rapport aux forces N et F. Nous commencerons par traiter des questions dans lesquelles ces couples sont négligeables, en réservant pour le paragraphe suivant l'étude spéciale du frottement de roulement et de pivc^- tement.
Nous avons supposé que les deux corps A et B sont en contact par une aire très petite qu'on peut regarder comme un point. Dans certaines questions les deux corps peuvent avoir une inGnité de points géométriques de contact; c'est ce qui arrive par exemple pour un cylindre posé sur un plan ; il faut alors appliquer à chaque point géométrique de contact les considérations précédentes.
Remarque, — Il ne faudrait pas croire que le frottement est
CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU COEPS SOLIDE. IO7
une force uniquement capable d'empêcher le mouvement, mais non de l'engendrer. En effet, le frottement peut servir, par exemple, à transmettre une partie du mouvement du corps A au corps B. Ainsi, lorsqu'une courroie, animée d'un mouvement rapide, vient à être placée sur une poulie primitivement au repos, elle commence d'abord par glisser sur elle et n'arrive que gra- duellement à lui communiquer son mouvement : la force qui agit ici comme force entraînante pour amener les points de la circon- férence de la poulie d'une vitesse nulle à celle de la courroie est le frottement; il constitue une résistance pour le mouvement de la courroie, tandis qu'il accélère celui de la poulie. {Voir Reu- LEAux, Cinématique, Notes, p. 633.)
368. Frottement de glissement. — Nous avons donné dans le premier Volume (n° 195) les lois empiriques, généralement admises, du frottement de glissement dans Tétat de repos ou dans l'état de mouvement, avec les restrictions qu'il convient d'y apporter d'après les expériences de Hirn.
Imaginons un solide A qui se meut en glissant sur un autre solide B : soient m un point matériel du corps A qui touche B, N
Fig. 312.
la réaction normale de B sur A en ce point, la force de frottement est une force appliquée au point m, dirigée en sens contraire de la vitesse relative de ce point par rapport au corps B et égale à / N, /"désignant le coefficient de frottement. Cette loi est applicable tant qu'il y a glissement, c'est-à-dire tant que la vitesse relative du point m par rapport au corps B n'est pas nulle. Supposons que celte vitesse devienne et reste nulle, alors plusieurs cas peuvent se présenter :
I® Ou bien le corps A reste immobile par rapport à B : dans ce cas la réaction de B sur A suit les lois du frottement à l'état de repos ;
|08 DÏNAMIOUE DES SÏ8TEMBS.
2" Ou bien, el c'est le cas gétiêial, le mouvement relalîf par rapport à B est un momemeni de roulement et pivotement. Dans ce cas, il n'y a plus glissement, les lois du frollemenl de glissement à l'état de mouvement ne sont donc plus applicables; OQ admet alors qu'on peut appliquer encore les lois du froltement de glissement (ï l'état de repos, c'est-à-dire que l'on peut regarder la réaction totale de B sur A comme formée d'une composante normalo N et d'une composante laugeulielle F ■< /N, Nous sup- posons, bien entendu, dans ce paragraphe, que l'on néglige les frottements de roulement el de pivotement ; autrement, il faudrait ajouter les deux couples qui représentent ces frottements.
3° Il peut arriver exceptionnellement que le corps A soit ter- miné par une pointe m par laquelle il glisse sur B, à la façon d'une toupie qui glisse sur un plan. Dans ce cas, le corps A toucbe tou- jours B par le même point /», et, si la vitesse relative de m par rapport à B devient et reste nulle, on applique les lois du frotte- ment à L'état de repos, et le mouvement de A par rapport à B est le mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe.
Nous montrerons plus loin, par un exemple (n" 373), que ces lois empiriques du frollemenl de glissement non seulement sont grossièrement approchées au point de vue expérimental, mais peuvent môme conduire à des contradictions matliématiques, ! comme l'a fait voir M. Painlevé dans ses Leçons sur /e frotte- ment (HeriuaRD, 1895).
369. — OiscontinuitéB possibles dans les équations du mouve- ment- — 1" Soit Vf la vitesse relative par rapport au corps B du point matériel m de A qui est au contact. Tant que Vr est diffé- rent de zéro, il y a glissement; si V;.= o, il y a roulement et pivo- tement de A sur B et de BsurA, Supposons qu'à l'instant iniliaUg, VfSoit nul : il s'agit de savoir si, à l'instant ÏXo, les deux corps vonl glisser on rouler et pivoter l'un sur l'autre. Pour cela, il , faudra essayer les deux hypothèses :
i" On supposera, par exemple, qu'il y a roulement et pivote- 1 ment, c'est-à-dire que V, reste nul : alors la réaction de BsurA se compose de la réaction normale N et d'une force langentielle F de direction indéterminée el de grandeur F<;/N, d'après les lois que nous admettons. On mettra le problème en équation dai
CHAPITRE XIX. — DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE. lOQ
ces hypothèses, et l'on calculera la réaction normale N et la réaction tangentielle F. Si la valeur trouvée pour F est moindre que/N, la supposition faite est exacte,